意义有那么大吗？毕竟，它们表达的，不是同一种收费规则吗？但事情要比我们想象的复
杂多了，比如玻尔的表格之所以那么简洁，其实是有这样一个假设，那就是“从A到B”和
“从B到A”，所需的钱是一样的。事实也许并非如此，从A到B要1块钱，从B回到A却很可
能要1。5元。这样玻尔的传统方式要大大头痛了，而海森堡的表格却是简洁明了的：只要
修改B为横坐标A为纵坐标的那个数字就可以了，只不过表格不再按照对角线对称了而已。
更关键的是，海森堡争辩说，所有的物理规则，也要按照这种表格的方式来改写。我们已
经有了经典的动力学方程，现在，我们必须全部把它们按照量子的方式改写成某种表格方
程。许多传统的物理变量，现在都要看成是一些独立的矩阵来处理。
在经典力学中，一个周期性的振动可以用数学方法分解成为一系列简谐振动的叠加，这个
方法叫做傅里叶展开。想象一下我们的耳朵，它可以灵敏地分辨出各种不同的声音，即使
这些声音同时响起，混成一片嘈杂也无关紧要，一个发烧友甚至可以分辨出CD音乐中乐手
翻动乐谱的细微沙沙声。人耳自然是很神奇的，但是从本质上说，数学家也可以做到这一
切，方法就是通过傅立叶分析把一个混合的音波分解成一系列的简谐波。大家可能要感叹
，人耳竟然能够在瞬间完成这样复杂的数学分析，不过这其实是自然的进化而已。譬如守
门员抱住飞来的足球，从数学上说相当于解析了一大堆重力和空气动力学的微分方程并求
出了球的轨迹，再比如人本能的趋利避害的反应，从基因的角度说也相当于进行了无数风
险概率和未来获利的计算。但这都只是因为进化的力量使得生物体趋于具有这样的能力而
已，这能力有利于自然选择，倒不是什么特殊的数学能力所导致。
回到正题，在玻尔和索末菲的旧原子模型里，我们已经有了电子运动方程和量子化条件。
这个运动同样可以利用傅立叶分析的手法，化作一系列简谐运动的叠加。在这个展开式里
的每一项，都代表了一个特定频率。现在，海森堡准备对这个旧方程进行手术，把它彻底
地改造成最新的矩阵版本。但是困难来了，我们现在有一个变量p，代表电子的动量，还
有一个变量q，代表电子的位置。本来，在老方程里这两个变量应当乘起来，现在海森堡
把p和q都变成了矩阵，那么，现在p和q应当如何再乘起来呢？
这个问题问得好：你如何把两个“表格”乘起来呢？
或者我们不妨先问自己这样一个问题：把两个表格乘起来，这代表了什么意义呢？
为了容易理解，我们还是回到我们那个巴士车费的比喻。现在假设我们手里有两张海森堡
制定的车费表：矩阵I和矩阵II，分别代表了巴士I号线和巴士II号线在某地的收费情况。
为了简单起见，我们假设每条线都只有两个站，A和B。这两个表如下：
I号线（矩阵I）：
A B
A 1 2
B 3 1
II号线（矩阵II）：
A B
A 1 3
B 4 1
好，我们再来回顾一下这两张表到底代表了什么意思。根据海森堡的规则，数字的横坐标
代表了起点站，纵坐标代表了终点站。那么矩阵I第一行第一列的那个1就是说，你坐巴士
I号线，从A地出发，在A地原地下车，车费要1块钱（啊？为什么原地不动也要付1块钱呢
？这个……一方面是比喻而已，再说你可以把1块钱看成某种起步费。何况在大部分城市
的地铁里，你进去又马上出来，的确是要在电子卡里扣掉一点钱的）。同样，矩阵I第一
行第二列的那个2是说，你坐I号线从A地到B地，需要2块钱。但是，如果从B地回到A地，
那么就要看横坐标是B而纵坐标是A的那个数字，也就是第二行第一列的那个3。矩阵II的
情况同样如此。
好，现在我们来做个小学生水平的数学练习：乘法运算。只不过这次乘的不是普通的数字
，而是两张表格：I和II。I×II等于几？
让我们把习题完整地写出来。现在，boys and girls，这道题目的答案是什么呢？
┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ？
┗ ┛ ┗ ┛
*********
饭后闲话：男孩物理学
1925年，当海森堡做出他那突破性的贡献的时候，他刚刚24岁。尽管在物理上有着极为惊
人的天才，但海森堡在别的方面无疑还只是一个稚气未脱的大孩子。他兴致勃勃地跟着青
年团去各地旅行，在哥本哈根逗留期间，他抽空去巴伐利亚滑雪，结果摔伤了膝盖，躺了
好几个礼拜。在山谷田野间畅游的时候，他高兴得不能自已，甚至说“我连一秒种的物理
都不愿想了”。
量子论的发展几乎就是年轻人的天下。爱因斯坦1905年提出光量子假说的时候，也才26岁
。玻尔1913年提出他的原子结构的时候，28岁。德布罗意1923年提出相波的时候，31岁。
而1925年，当量子力学在海森堡的手里得到突破的时候，后来在历史上闪闪发光的那些主
要人物也几乎都和海森堡一样年轻：泡利25岁，狄拉克23岁，乌仑贝克25岁，古德施密特
23岁，约尔当23岁。和他们比起来，36岁的薛定谔和43岁的波恩简直算是老爷爷了。量子
力学被人们戏称为“男孩物理学”，波恩在哥廷根的理论班，也被人叫做“波恩幼儿园”
。
不过，这只说明量子论的锐气和朝气。在那个神话般的年代，象征了科学永远不知畏惧的
前进步伐，开创出一个前所未有的大时代来。“男孩物理学”这个带有传奇色彩的名词，
也将在物理史上镌刻出永恒的光芒。
三
上次我们布置了一道练习题，现在我们一起来把它的答案求出来。
┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ？
┗ ┛ ┗ ┛
如果你还记得我们那个公共巴士的比喻，那么乘号左边的矩阵I代表了我们的巴士I号线的
收费表，乘号右边的矩阵II代表了II号线的收费表。I是一个2×2的表格，II也是一个2×
2的表格，我们有理由相信，它们的乘积也应该是类似的形式，也是一个2×2的表格。
┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ a b ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛
但是，那答案到底是什么？我们该怎么求出abcd这四个未知数？更重要的是，I×II的意
义是什么呢？
海森堡说，I×II，表示你先乘搭巴士I号线，然后转乘了II号线。答案中的a是什么呢？a
处在第一行第一列，它也必定表示从A地出发到A地下车的某种收费情况。海森堡说，a，
其实就是说，你搭乘I号线从A地出发，期间转乘II号线，最后又回到A地下车。因为是乘
法，所以它表示“I号线收费”和“II号线收费”的乘积。但是，情况还不是那么简单，
因为我们的路线可能不止有一种，a实际代表的是所有收费情况的“总和”。
如果这不好理解，那么我们干脆把题目做出来。答案中的a，正如我们已经说明了的，表
示我搭I号线从A地出发，然后转乘II号线，又回到A地下车的收费情况的总和。那么，我
们如何具体地做到这一点呢？有两种方法：第一种，我们可以乘搭I号线从A地到B地，然
后在B地转乘II号线，再从B地回到A地。此外，还有一种办法，就是我们在A地上了I号线
，随即在原地下车。然后还是在A地再上II号线，同样在原地下车。这虽然听起来很不明
智，但无疑也是一种途径。那么，我们答案中的a，其实就是这两种方法的收费情况的总
和。
现在我们看看具体数字应该是多少：第一种方法，我们先乘I号线从A地到B地，车费应该
是多少呢？我们还记得海森堡的车费规则，那就看矩阵I横坐标为A纵坐标为B的那个数字
，也就是第一行第二列的那个2，2块钱。好，随后我们又从B地转乘II号线回到了A地，这
里的车费对应于矩阵II第二行第一列的那个4。所以第一种方法的“收费乘积”是2×4＝8
。但是，我们提到，还有另一种可能，就是我们在A地原地不动地上了I号线再下来，又上
II号线再下来，这同样符合我们A地出发A地结束的条件。这对应于两个矩阵第一行第一列
的两个数字的乘积，1×1＝1。那么，我们的最终答案，a，就等于这两种可能的叠加，也
就是说，a＝2×4＋1×1＝9。因为没有第三种可能性了。
同样道理我们来求b。b代表先乘I号线然后转乘II号线，从A地出发最终抵达B地的收费情
况总和。这同样有两种办法可以做到：先在A地上I号线随即下车，然后从A地坐II号线去B
地。收费分别是1块（矩阵I第一行第一列）和3块（矩阵II第一行第二列），所以1×3＝3
。还有一种办法就是先乘I号线从A地到B地，收费2块（矩阵I第一行第二列），然后在B地
转II号线原地上下，收费1块（矩阵II第二行第二列），所以2×1＝1。所以最终答案：b
＝1×3＋2×1＝5。
大家可以先别偷看答案，自己试着求c和d。最后应该是这样的：c＝3×1＋1×4＝7，d＝3
×3＋1×1＝10。所以：
┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ 9 5 ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ 7 10┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛
很抱歉让大家如此痛苦不堪，不过我们的确在学习新的事物。如果你觉得这种乘法十分陌
生的话，那么我们很快就要给你更大的惊奇，但首先我们还是要熟悉这种新的运算规则才
是。圣人说，温故而知新，我们不必为了自己新学到的东西而沾沾自喜，还是巩固巩固我
们的基础吧，让我们把上面这道题目验算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其实没有那么
乏味，我们可以把乘法的次序倒一倒，现在验算一遍II×I：
┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 3 ┃ ┃ 1 2 ┃ ┃ a b ┃
┃ 4 1 ┃ × ┃ 3 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛
我知道大家都在唉声叹气，不过我还是坚持，复习功课是有益无害的。我们来看看a是什
么，现在我们是先乘搭II号线，然后转I号线了，所以我们可以从A地上II号线，然后下来
。再上I号线，然后又下来。对应的是1×1。另外，我们可以坐II号线去B地，在B地转I号
线回到A地，所以是3×3＝9。所以a＝1×1＋3×3＝10。
喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我们遇到问题了。在我们的验算里，a＝10，不过我还记得
，刚才我们的答案说a＝9。各位把笔记本往回翻几页，看看我有没有记错？嗯，虽然大家
都没有记笔记，但我还是没有记错，刚才我们的a＝2×4＋1×1＝9。看来是我算错了，我
们再算一遍，这次可要打