什么？矩阵究竟是个什么东西？海森堡却始终护定他那让人沮丧的立场：所谓“意义”是
不存在的，如果有的话，那数学就是一切“意义”所在。物理学是什么？就是从实验观测
量出发，并以庞大复杂的数学关系将它们联系起来的一门科学，如果说有什么图像能够让
人们容易理解和记忆的话，那也是靠不住的。但是，不管怎么样，毕竟矩阵力学对于大部
分人来说都太陌生太遥远了，而隐藏在它背后的深刻含义，当时还远远没有被发掘出来。
特别是，p×q ≠ q×p，这究竟代表了什么，令人头痛不已。
一年后，当薛定谔以人们所喜闻乐见的传统方式发布他的波动方程后，几乎全世界的物理
学家都松了一口气：他们终于解脱了，不必再费劲地学习海森堡那异常复杂和繁难的矩阵
力学。当然，人人都必须承认，矩阵力学本身的伟大含义是不容怀疑的。
但是，如果说在1925年，欧洲大部分物理学家都还对海森堡，波恩和约尔当的力学一知半
解的话，那我们也不得不说，其中有一个非常显著的例外，他就是保罗•；狄拉克。
在量子力学大发展的年代，哥本哈根，哥廷根以及慕尼黑三地抢尽了风头，狄拉克的崛起
总算也为老牌的剑桥挽回了一点颜面。
保罗•；埃德里安•；莫里斯•；狄拉克（Paul Adrien Maurice
Dirac）于1902年8月8日出生于英国布里斯托尔港。他的父亲是瑞士人，当时是一位法语
教师，狄拉克是家里的第二个孩子。许多大物理学家的童年教育都是多姿多彩的，比如玻
尔，海森堡，还有薛定谔。但狄拉克的童年显然要悲惨许多，他父亲是一位非常严肃而刻
板的人，给保罗制定了众多的严格规矩。比如他规定保罗只能和他讲法语（他认为这样才
能学好这种语言），于是当保罗无法表达自己的时候，只好选择沉默。在小狄拉克的童年
里，音乐、文学、艺术显然都和他无缘，社交活动也几乎没有。这一切把狄拉克塑造成了
一个沉默寡言，喜好孤独，淡泊名利，在许多人眼里显得geeky的人。有一个流传很广的
关于狄拉克的笑话是这样说的：有一次狄拉克在某大学演讲，讲完后一个观众起来说：“
狄拉克教授，我不明白你那个公式是如何推导出来的。”狄拉克看着他久久地不说话，主
持人不得不提醒他，他还没有回答问题。
“回答什么问题？”狄拉克奇怪地说，“他刚刚说的是一个陈述句，不是一个疑问句。”
1921年，狄拉克从布里斯托尔大学电机工程系毕业，恰逢经济大萧条，结果没法找到工作
。事实上，很难说他是否会成为一个出色的工程师，狄拉克显然长于理论而拙于实验。不
过幸运的是，布里斯托尔大学数学系又给了他一个免费进修数学的机会，2年后，狄拉克
转到剑桥，开始了人生的新篇章。
我们在上面说到，1925年秋天，当海森堡在赫尔格兰岛作出了他的突破后，他获得波恩的
批准来到剑桥讲学。当时海森堡对自己的发现心中还没有底，所以没有在公开场合提到自
己这方面的工作，不过7月28号，他参加了所谓“卡皮察俱乐部”的一次活动。卡皮察（P
。L。Kapitsa）是一位年轻的苏联学生，当时在剑桥跟随卢瑟福工作。他感到英国的学术活
动太刻板，便自己组织了一个俱乐部，在晚上聚会，报告和讨论有关物理学的最新进展。
我们在前面讨论卢瑟福的时候提到过卡皮察的名字，他后来也获得了诺贝尔奖。
狄拉克也是卡皮察俱乐部的成员之一，他当时不在剑桥，所以没有参加这个聚会。不过他
的导师福勒（William Alfred Fowler）参加了，而且大概在和海森堡的课后讨论中，得
知他已经发明了一种全新的理论来解释原子光谱问题。后来海森堡把他的证明寄给了福勒
，而福勒给了狄拉克一个复印本。这一开始没有引起狄拉克的重视，不过大概一个礼拜后
，他重新审视海森堡的论文，这下他把握住了其中的精髓：别的都是细枝末节，只有一件
事是重要的，那就是我们那奇怪的矩阵乘法规则：p×q ≠ q×p。
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饭后闲话：约尔当
恩斯特•；帕斯库尔•；约尔当（Ernst Pascual Jordan）出生于汉诺威。在我们
的史话里已经提到，他是物理史上两篇重要的论文《论量子力学》I和II的作者之一，可
以说也是量子力学的主要创立者。但是，他的名声显然及不上波恩或者海森堡。
这里面的原因显然也是多方面的，1925年，约尔当才22岁，无论从资格还是名声来说，都
远远及不上元老级的波恩和少年成名的海森堡。当时和他一起做出贡献的那些人，后来都
变得如此著名：波恩，海森堡，泡利，他们的光辉耀眼，把约尔当完全给盖住了。
从约尔当本人来说，他是一个害羞和内向的人，说话有口吃的毛病，总是结结巴巴的，所
以他很少授课或发表演讲。更严重的是，约尔当在二战期间站到了希特勒的一边，成为一
个纳粹的同情者，被指责曾经告密。这大大损害了他的声名。
约尔当是一个作出了许多伟大成就的科学家。除了创立了基本的矩阵力学形式，为量子论
打下基础之外，他同样在量子场论，电子自旋，量子电动力学中作出了巨大的贡献。他是
最先证明海森堡和薛定谔体系同等性的人之一，他发明了约尔当代数，后来又广泛涉足生
物学、心理学和运动学。他曾被提名为诺贝尔奖得主，却没有成功。约尔当后来显然也对
自己的成就被低估有些恼火，1964年，他声称《论量子力学》一文其实几乎都是他一个人
的贡献——波恩那时候病了。这引起了广泛的争议，不过许多人显然同意，约尔当的贡献
应当得到更多的承认。
五
p×q ≠ q×p。如果说狄拉克比别人天才在什么地方，那就是他可以一眼就看出这才是海
森堡体系的精髓。那个时候，波恩和约尔当还在苦苦地钻研讨厌的矩阵，为了建立起新的
物理大厦而努力地搬运着这种庞大而又沉重的表格式方砖，而他们的文章尚未发表。但狄
拉克是不想做这种苦力的，他轻易地透过海森堡的表格，把握住了这种代数的实质。不遵
守交换率，这让我想起了什么？狄拉克的脑海里闪过一个名词，他以前在上某一门动力学
课的时候，似乎听说过一种运算，同样不符合乘法交换率。但他还不是十分确定，他甚至
连那种运算的定义都给忘了。那天是星期天，所有的图书馆都关门了，这让狄拉克急得像
热锅上的蚂蚁。第二天一早，图书馆刚刚开门，他就冲了进去，果然，那正是他所要的东
西：它的名字叫做“泊松括号”。
我们还在第一章讨论光和菲涅尔的时候，就谈到过泊松，还有著名的泊松光斑。泊松括号
也是这位法国科学家的杰出贡献，不过我们在这里没有必要深入它的数学意义。总之，狄
拉克发现，我们不必花九牛二虎之力去搬弄一个晦涩的矩阵，以此来显示和经典体系的决
裂。我们完全可以从经典的泊松括号出发，建立一种新的代数。这种代数同样不符合乘法
交换率，狄拉克把它称作“q数”（q表示“奇异”或者“量子”）。我们的动量、位置、
能量、时间等等概念，现在都要改造成这种q数。而原来那些老体系里的符合交换率的变
量，狄拉克把它们称作“c数”（c代表“普通”）。
“看。”狄拉克说，“海森堡的最后方程当然是对的，但我们不用他那种大惊小怪，牵强
附会的方式，也能够得出同样的结果。用我的方式，同样能得出xy…yx的差值，只不过把
那个让人看了生厌的矩阵换成我们的经典泊松括号＇x；y＇罢了。然后把它用于经典力学的
哈密顿函数，我们可以顺理成章地导出能量守恒条件和玻尔的频率条件。重要的是，这清
楚地表明了，我们的新力学和经典力学是一脉相承的，是旧体系的一个扩展。c数和q数，
可以以清楚的方式建立起联系来。”
狄拉克把论文寄给海森堡，海森堡热情地赞扬了他的成就，不过带给狄拉克一个糟糕的消
息：他的结果已经在德国由波恩和约尔当作出了，是通过矩阵的方式得到的。想来狄拉克
一定为此感到很郁闷，因为显然他的法子更简洁明晰。随后狄拉克又出色地证明了新力学
和氢分子实验数据的吻合，他又一次郁闷了——泡利比他快了一点点，五天而已。哥廷根
的这帮家伙，海森堡，波恩，约尔当，泡利，他们是大军团联合作战，而狄拉克在剑桥则
是孤军奋斗，因为在英国懂得量子力学的人简直屈指可数。但是，虽然狄拉克慢了那么一
点，但每一次他的理论都显得更为简洁、优美、深刻。而且，上天很快会给他新的机会，
让他的名字在历史上取得不逊于海森堡、波恩等人的地位。
现在，在旧的经典体系的废墟上，矗立起了一种新的力学，由海森堡为它奠基，波恩，约
尔当用矩阵那实心的砖块为它建造了坚固的主体，而狄拉克的优美的q数为它做了最好的
装饰。现在，唯一缺少的就是一个成功的广告和落成典礼，把那些还在旧废墟上唉声叹气
的人们都吸引到新大厦里来定居。这个庆典在海森堡取得突破后3个月便召开了，它的主
题叫做“电子自旋”。
我们还记得那让人头痛的“反常塞曼效应”，这种复杂现象要求引进1/2的量子数。为此
，泡利在1925年初提出了他那著名的“不相容原理”的假设，我们前面已经讨论过，这个
规定是说，在原子大厦里，每一间房间都有一个4位数的门牌号码，而每间房只能入住一
个电子。所以任何两个电子也不能共享同一组号码。
这个“4位数的号码”，其每一位都代表了电子的一个量子数。当时人们已经知道电子有3
个量子数，这第四个是什么，便成了众说纷纭的谜题。不相容原理提出后不久，当时在哥
本哈根访问的克罗尼格（Ralph Kronig）想到了一种可能：就是把这第四个自由度看成电
子绕着自己的轴旋转。他找到海森堡和泡利，提出了这一思路，结果遭到两个德国年轻人
的一致反对。因为这样就又回到了一种图像化的电子概念那里，把电子想象成一个实实在
在的小球，而违背了我们从观察和数学出发的本意了。如果电子真是这样一个带电小球的
话，在麦克斯韦体系里是不稳定的，再说也违反相对论——它的表面旋转速度要高于光速
。
到了1925年秋天，自旋的假设又在荷兰莱顿大学的两个学生，乌仑贝克（George Eugene
Uhlenbeck）和古德施密特（Somul Abraham Goudsmit）那里死灰复燃了。当然，两人不
知道克罗尼格曾经有过这样的意见，他们是在研究光谱的时候独立产生这一想法的。于是
两人找到导师埃仑费斯特（Paul Ehrenfest）征求意见。埃仑费斯特也不是很确定，他建
议两人先写一个小文章发表。于是两人当真写了一个短文交给埃仑费斯特，然后又去求教
于老资�