3。 反身性：若M＇f M＂，M＂p M＇，则必有M＇∽ M＂。
一般来说，导序具有的性质，真导序也具有，反之则不一定。前面提到通过增减条件或推导可以得到不同的数学结构，但并不一定称得上新的数学模型。抽象地看，从旧的数学模型到新的数学结构是一过程，经过了一个映射。正如我们可以把从原型r到模型M的过程看成一种映射一样。对于数学结构而言，封闭是一个严格的概念；但对数学模型而言并不十分严谨。我们姑且这样定义：如果模型M在一映射Γ下所得到的数学结构仍是一个同原模型，则称该模型对映射P是封闭的。【例1。2。7】可以部分地说明封闭这个概念。
【例1。2。7】财务分析
假设某公司经销一种商品的数量为x，单位售价p元，经估算固定成本为FC元，单位可变动成本为UVC。于是，由定义有
M1： SR=px
M2： C=FC＋UVC·x
M1表示销售收入，M2表示总成本。对C微分得到边际成本模型，
M3： MC=UVC
将M1和M2视为一个数学模型，则利润I的模型为
M4： I=（P－UVC）·x－FC
可以看成M1和M2经过减运算得到的。利润率IR则是由M4和M2的商运算得到的，
M5：
根据模型化原理，我们可以这样认为：M2对一阶微分是封闭的，但对二阶微分不封闭；数学模型M1∩M2对特定的商运算也是封闭的。
迄今为止，我们只是讨论了模型的一些基本概念和性质，对于这些概念的系统讨论和研究将在第二章中进
第二章 数学模型化
从第一章的讨论我们知道，数学模型是反映原型的数学结构，而本章讨论的数学模型化则指提出、设计、建立、求解、论证及使用数学模型的整个过程。本章主要论述与模型化有关的数量化度量、经济数学模型的分类、模型和模型化应用的条件和范围、模型和模型化选择的标准等问题，最后对模型化过程进行设计与讨论。
§2。1 数量化和量纲分析
§2。1。1 数量化的度量问题
经济信息数量化是构造模型的前提，经济原型总是具有质与量两方面的信息，模型所需的信息是二者的结合，即信息不仅包含经济概念而且有一种数量的度量。度量是定性与定量结合的过程。量纲是带有质的规定性的数量度量，因此，在模型化过程中是值得重视的。从理论上看，数学结构中的各种量是没有量纲的，但作为一个经济模型，模型的输入和输出的信息有量纲的问题，这是客观存在。事实上，没有量纲这个标准，则使各经济变量之间失去可比性。在商品经济存在的条件下，各种实物往往需要用货币量纲来反映价值，生产、流通、消费和分配等因素的联系需用货币量纲来体现，因此，在讨论问题时，往往把量纲统一于某种货币单位，从而，使不同质的量得到统一的度量。但实际中遇到的原型不尽相同，而且并不是什么都可以用货币度量的。因此，在数学模型的构造和推导过程中要注意量纲是否合理，否则可能失去原型背景，即不再是同原模型。
不论是构造什么样的模型，总是要选择一些基本量纲或原始量纲，经过模型构造和求解后，往往生出一些新的量纲，我们称之为导出量纲。例如，在描述一段时期内的平均收入时，我们把单位时间和单位货币称为基本量纲，而把（单位货币/单位时间）称为导出量纲。我们定义一个量纲是独立量纲，如果它不能由其它量所导出，如经济上常用的货币单位、实物单位、和计量单位等等。从数学的观点看，以什么作为量纲并不重要，关键是在构造过程中量纲必须始终是谐调的、规范的。只有这样才能保证所得的模型与结果不仅有数学意义，而且有经济解释。
无量纲的经济量（指标）在经济是经常遇到。诸如比例数、比率和指数等相对量，就可能是无量纲的。另一种较特殊的量是只起记录功能或排序功能的〃数量〃，例如，把盈利记为1，亏本记为…1，盈亏平衡记为0。这种量与有量纲的经济量有质的区别，应注意其数学处理的条件和应用范围。
模型化过程中常需直接利用已有的统计指标，这时更需注意量纲问题。按我国的惯例统计指标分为数量指标和质量指标。数量指标反映企业、部门或整个国民经济工作的直接结果，它是刻划经济规模的计划指标。质量指标反映生产资源和生产因素的利用效果，它是描述经济活动的统计性指标。质量指标分技术经济指标和经济质量指标，前者表示固定资产和流动资产的利用效果，产品质量及各产品生产间的比例关系，它是编制计划的依据，后者反映经济工作的质量与管理水平。与指标密切相关的因素是统计方式，这些都是收集信息时应当注意的。鉴于我国的经济指标体系与西方不尽一致，在考虑借鉴西方模型时尤应慎重。
§2。1。2 量纲分析
前一节中已经提到过量纲等概念，我们将进一步深化它们。模型化常会涉及到可度量的信息，如经济中的国民收入、产出、消费额等，既是经济概念，又是可度量的。度量单位是带有质的规定性的标准。在这种标准下，信息传递被简化了。例如两个量不经实际比较，就知道孰多孰寡。物理学之所以成为严谨的科学，得益于数学模型的利用。物理学的典型方法是把物理原型用数学模型表现出来，通过对输入和输出的量的量纲比较，说明了物理学规律。量纲分析（Dimensional Analysis）就是物理学中一项模型化技术。（我们将沿用物理学中的名称予以介绍）
众所周知，一切物理量可以由若干基本单位推导出来。基本单位的体系在物理上称为单位制。例如力学单位制可由长度、质量、时间为基本单位的绝对单位制（System of Absolute Units）推导出来。除基本单位之外，任何其他物理单位均称导出单位（Derived Unit）。如果q，j，y，…为基本单位，a为导出单位，根据定义或定律导出单位a可以表示成
a = c q jm yn…
的形式，其中c， ，m，n，…是常数。则称指数 ，m，n，…为a的量纲，量纲公式记作
＇a ＇=＇q jm yn …＇
其中〃＇ ＇〃读作〃…的量纲〃。对于一般的模型化问题，无法建立适用于一切原型的单位制，但是对具体的模型化问题，的确可以提供一个〃单位制〃。我们仍称被推导出的单位为导出单位，沿用一切物理学的名称。
量纲分析方法可以从单一的前提条件，对某一现象推断得出有价值的信息，而该现象可以由某些变量中的一个有量纲的、恰当的方程来描述。量纲分析可用于设计比例模型，处理如何按比例调节系统的参数，使之能根据模型预测未来。量纲分析还可以使变量按有意义的方式进行组合，从而减少变量的数目对有关数据的需求。量纲分析的主要依据是白金汉（Buckingham）的P定理以及相似定律（Law of Similitude）。我们首先介绍P定理。
P定理：假设有n个物理量a1，a2，…，an和m个基本量的量纲单位b1，b2，…，bm，如果关系式
f（a1，…，an） = 0
的成立与基本量的单位无关，则总可以转化成为
F（P1，…，Pn－m） = 0
其中P1，…，Pn－m是无量纲量群，形式为
这里F为某一函数。
我们回想一下代数学中的结论：线性空间中的一组基可以将任一向量线性表出；任一组向量亦可选出基向量。P定理的使用方法与基的扩充方法相似，首先从导出量a1，…，an中选择能包含全部基本量纲的m个导出量。不妨设a1，…，am的量纲中含有b1，…，bm，则可用剩下的n－m个导出量构造无量纲量群。我们设
，i=1；…n…m
其中hij是待定参数i=1；…n…m，j=1；…；m。由于a1，…，an的量纲单位是从b1，…，bm导出，故有
，j=1；…；n
其ajk是aj的量纲，k=1；…；m。利用前式可得
因Pi是无量纲的，故令
，k=1；…；m
如此得到的m（n…m）个方程恰好确定所有的待定系数hij，i=1；…n…m，j=1；…；m。这个方法不仅给出了扩充的步骤，而且给出了一个构造性证明。
【例2。2。1】万有引力模型
牛顿的万有引力定律告诉我们：两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离成反比。模型为
式中F是万有引力，G是万有引力常数，m1和m2分别是两物体的质量，r是两物体间的距离。假设基本的物理量是质量M，长度L和时间T，我们来分析一下万有引力模型的量纲。显然，
＇F＇=MLT…2
＇m1＇=＇m2＇=M
＇r＇=L
＇G＇=M…1 L3 T…2
设a1 =F，a2 =m1，a3 =m2，a4 =r，a5 =G则系数矩阵为
选择a1，a2，a4为基，则
于是我们得到
h11＋h12＋1=0
h11 ＋h13 =0
－2 h11 =0
和
h21＋h22－1=0
h21＋h23＋3=0
－2 h21－2=0
从中解出
无量纲量群
由P定理可知，必可转化为
F（P1，P2）=0
事实上，稍加观察就有
P1 P2 －1=0
这是万有引力模型。请注意，如果我们考虑的体系中有这五个物理量，则可以纯形式地导出万有引力模型。当然，难点在于把G考虑在内的物理直觉。
【例2。2。2】流体实验
我们这次从经典的实例出发，讨论量纲分析的应用。原型问题是几何形状相似的物体在不可压缩粘性流体中的阻力问题。这种阻力是由于流体沿物体表面流动而产生的。我们记f为阻力，物体相对流体的速度为V，流体的密度为r，特征长度为ｌ，粘滞系数为m（注：m是粘滞摩擦阻力和该物体的速度梯度之比例系数）。仍以绝对单位制为基本单位制，则五个物理量，量纲单位分别是MLT…2，LT…1，ML…3，L和ML…1T…1。与例2。2。1相仿，可以得到
考察其物理意义可知：P1表示粘滞力与惯性力之比；P2表示阻力对流体在该物体正面投影面积上的作用力之比。 称为雷诺数（Reynolds Number），层流时其值较小，湍流时其值较大。如果我们的原型是湍流中的阻力，则应对R足够大的情况设计实验和分析。这样一来试验变得更为合理和有效了。
【例2。2。2】中 就是一个数学模型！我们希望了解阻力如何因速度变化而变化时，注意到另外三个物理量如何变化，则需要相应地做许多次实验。量纲分析法使我们科学地减少了实验次数和测量数。但是，量纲分析并不是一种机械的方法，变量的选择依赖于洞察力和判断力，因为一旦包含无关的量或多删了必需的量就会导致谬误。
综上所述，与其说量纲分析是一种工具，不如说是一个过程。首先要对原型中有关变量和常数进行识别，选择系统的主要候选变量及其量纲；其次是运用某些方法，如扩充法、P定理等解出无量纲量群；再次是对无量纲量群及其乘积和比率进行原型背景的识别与推断；最后建立成数学模型以拟合原型，达到对原型体系的认识，简化实验设计，数据收集和数值计算的目的。
相似定律是许多物理实验的依据。该定律认为：两个同类的物理系统的Pi值如果相同，则它们的物理状态亦相似。因此Pi值相同的模型实验的结果可以用来推测原型。由于物理量成立的关系式是对基本（运动）方程进行数学运算得到的，所以关系式中出现的数值系数的数量级多为1。因此，相反地，在几个量间进行量纲分析时，如果根据实验结果所�