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布劳威尔却证明不是这么回事，他弥补了这个缺陷。我指的是布劳威尔关于数学与语言及逻辑之间的关系的理论。
布劳威尔是通过在数学本身与它的语言表达和传达之间作出鲜明的区分来解决这个问题的。他说数学本身就是一种外在的语言活动，实质上是在我们关于时间的纯粹直觉基础上的精神构造活动。通过这样的构造，我们在我们的直觉中，在我们心中创造数学客体，而此后，在它们产生之后，我们可以试图描述它们并把它们传达给其他人。因而，语言的描述，推理论证及其逻辑是跟在基本的数学活动之后的：它们总是在数学客体如一个证明正被构造出来之后才产生。
这就解决了我们揭露的康德《批判》中存在的问题。康德哲学中初一看似乎是矛盾的东西，被一种理论以非常巧妙的方法消除了，该理论即我们必须明确地区分两个层次，一个是直觉的，精神的、对数学思维必不可少的层次，另一个是推理的，语言的，只对传达才是必不可少的层次。
象任何一个伟大的理论一样，布劳威尔的这个理论以其丰富性显示出它的价值。它一举解决了数学哲学中的三大组问题：
（1）关于数学确定性的来源，数学证据的性质和数学证明的性质的认识论问题。这些问题是分别用直觉是知识来源的学说、我们可以直觉地看到我们已构造的数学客体的学说和数学证明是相继推定即推定的推定的学说来解决的。
（2）关于数学客体的性质及其存在方式的性质的本体论问题。解决这些问题的学说有两个方面：一方面是构造主义，另一方面是心灵主义，它把一切数学客体都置于我称谓的“第二世界”中。数学客体是人类头脑的构造物，并作为构造物而单独地存在于人脑之中。它们的客观性，即它们作为客体的特性和它们存在的客观性，全在于有可能任意重复地构造它们。
因而，布劳威尔在他的就职讲演中可能意指，对直觉主义者来说，数学客体存在于人类头脑中，而对形式主义者来说，它存在于“纸上”。①
① 参见布劳威尔著作，1912年版，第3节末尾。布劳威尔在那里谈到的不是数学的存在而是“数学的精确性”的存在，并且就实际情况而言，这一节因而适用于问题（1）和（3），甚至比对本体论问题（2）还要更适应一些。但是，毫无疑问，这意味着它也适用于（2），这一节见于德雷斯顿的译文：“数学的精确性存在于哪里，对这个问题有不同的回答……直观论者回答说：存在于人类理智中。形式主义者则回答说：存在于纸上。”
（3）关于数学证明的方法论问题。
我们可能天真地区分对数学感兴趣的两种主要方式。一个数学家可能主要对定理——对数学命题的真和假——感兴趣。另一个数学家可能主要对证明感兴趣：对某种定理的证明的存在问题和该证明的特性感兴趣。如果第一种兴趣占优势的话（例如波利耶的兴趣似乎是这种情况），那么，它通常与关心发现数学“事实”相关，并因而与柏拉图式的数学启发法相关。如果第二种兴趣占优势的话，那么，证明就不仅仅是弄清楚关于数学客体的定理的手段，而且它们本身就是数学客体。对我来说，这似乎就是布劳威尔的情况：这些作为证明的构造物不仅仅在创造和确立数学客体，而且同时它们本身就是数学客体——也许甚至是最重要的数学客体。因而，肯定一个定理就是肯定关于这个定理的一个证明的存在，而否定这个定理就是肯定一个反驳的存在，即关于其荒谬性的证明的存在。这直接导致布劳威尔拒绝接受排中律，导致他拒绝接受间接的证明，还导致这个要求；只有用有关的数学客体的实际结构——其制作似乎是可见的——存在才可以得到证明。
这还导致布劳威尔反对“柏拉图主义”，据此我们可能理解这个学说，数学客体具有我称谓的“自主的”存在方式，如果没有我们的构造，它们也可能存在，因而如果没有被我们证明存在，它们也可能存在。
至此我一直在试图理解布劳威尔的认识论，主要依据这样的推测即它产生的根源在于企图解决康德的数学哲学中的困难。我现在着手完成我在这一节标题中宣布过的任务，即对布劳威尔的认识论作出评价和批判。
从本篇论文的观点来看，布劳威尔的一个伟大成就在于，他看到数学——或许我可以补充说第三世界——是由人类创造的。
这一观点是根本反柏拉图的，所以，不难理解，布劳威尔没有看到它可以和一种柏拉图主义相结合。我指的是象我在上面第3节所勾画的数学和第三世界的（部分）自主性的学说。
从哲学的观点上看，布劳威尔的另一项伟大成就是他反形式主义：他认识到数学客体必定在我们可能谈论它们以前就存在。
可是，让我转入批判这一节先前讨论的，布劳威尔对数学哲学的三组主要问题的解决。（1）认识论问题：一般意义上的直觉，特殊意义上的时间理论。
我不打算改变“直觉主义”这个名称。既然这个名称无疑会保留下来，所以，更重要的是放弃那种关于直觉是认识的确实可靠源泉的错误哲学。
不存在任何权威性的知识来源，也没有任何“来源”是特别可靠的。①作为灵感来源的一切，包括“直觉”，都是受欢迎的，尤其如果它们能为我们提出新问题的话。然而，没有任何知识来源是可靠的，而且我们都是难免有错误的。
① 我已经在我的讲演“关于知识和无知的来源”中详细地讨论过这个问题，该讲演构成波普尔1963年著作的导言。
此外，也不能赞同康德对直觉和推理思维的截然划分。无论如何，“直觉”主要是我们文明发展的产物，并且是我们在推理思维方面所作努力的产物。康德关于我们共同具有一种标准的纯粹直觉（动物也许并不具有这种纯粹直觉，尽管它们有类似的感觉素质）的思想，是很难接受的。因为在推理思维中经受训练之后，我们的直觉理解就完全不同予以前了。
所有这些都适用于我们的时间直觉。我本人发现本杰明·李·沃尔夫关于霍皮印第安人②和他们的时间直觉全然不同的报告是令人信服的。即使这个报告是不正确的（我想不大可能），它也指出了康德和布劳威尔不曾考虑过的可能性。如果沃尔夫是正确的，那么我们对时间的直觉理解——我们用以“看到”时间关系的方法——就部分地取决于我们的语言以及其中体现的理论和神话；我们自己欧洲式的时间直觉在很大程度上应归功于我们希腊文明的起源及其对推理思维的强调。
② 参见沃尔夫著作，1996年版，“一个美洲印第安人的世界模式”。
无论如何，我们的时间直觉可能随着我们理论的变化而变化。牛顿，康德和拉普拉斯的直觉不同于爱因斯坦的直觉，并且时间在粒子物理学中的作用不同于在经典场论中的作用，尤其不同于在光学中的作用。粒子物理学提出一个剃刀状的非连续瞬间，即划分过去和将来的“punctum temporis”， 并因而提出由非连续瞬间组成的时间坐标，和一个其“状态”可能对于任何这样的非连续瞬间都是给定的世界。在光学中的情况则不一样。正象在光学中存在空间上连续的栅格，其各部分在相当大的空间距离上配合一样，也存在时间上有连续性的事件（具有频率的波），它的各部分在相当大的时间距离上配合。因而，由于光学，在物理学中不可能存在一瞬间的世界状态。这个论据应该并且确定与我们的直觉有很大的差别：据称是心理学的似是而非地现存的东西既不是似是而非的，也不仅限于心理学范围内，而是真实的并已经出现在物理学中。①
① 参见冈布里奇著作，1964年版，尤见第297页：“如果我们想把这种思想追索到它的逻辑结论，那么punctum temporis甚至不可能看作是无意义的点，因为光具有频率。”（这个论据可以通过考虑边界条件得到支持。）
因而，不仅关于直觉是知识可靠来源的一般学说是神话，而且更重要的是，我们的时间直觉是有待于批判和纠正的，正象我们的空间直觉有待于批判、纠正（按照布劳威尔本人承认的说法）一样。
我把这个重要的论点归功于拉卡托斯的数学哲学，即数学（而不仅仅自然科学）通过批评猜测以及大胆的非正式的证明而发展起来。这一点是以对这些猜测和证明的语言阐述并因而以它们在第三世界的地位为前提的。语言最初仅作为传达对前语言客体的描述的一种手段，后来由此而成为科学事业必不可少的部分，甚至在数学中也是这样，而数学本身又成为第三世界的组成部分。而且语言有许多层次或者等级（不论它们是否用一个元语言的等级来阐述）。
如果直觉主义的认识论是正确的话，数学的能力就会不成问题了。（如果康德的理论是正确的话，我们——更确切地说是柏拉图和他的学派——为什么得花如此长的时间等待欧几里得就是不可理解的了。②）然而这是一个问题，因为甚至许多非常有能力的直觉主义数学家都可能在某些难点上有不同意见，③我们不必去研究不同意见的哪一方是正确的。指出这一点就够了：一旦直觉主义者的构造可能受到批判，提出的问题就只能以一种基本方式通过使用辩论的语言来解决。当然，必须批判地使用语言并不是要我们保证使用直觉主义数学禁用的那些论据（尽管这里存在一个问题，我们将要指出这一点）。我现在的论点仅仅是：一旦已提出的直觉主义数学构造的可接受性受到怀疑——而且它当然值得怀疑——的话，语言就不仅仅是原则上可以省略的交际手段了，更确切地说，它就成了批判讨论的必不可少的中介。因此，它不再仅仅是那种直觉主义的构造，直觉主义的构造“在哪个主体作出构造都无关紧要的意义上是客观的”：④更确切地说，甚至直觉主义的数学也象一切科学一样，其客观性是以其论据的可批判性为根据的，但是，这意味着语言作为论证和批判讨论的中介是必不可少的。⑤
② 参见波普尔著作，1963年版，第2章，附脚注63的那一节，关于康德对牛顿物理学的先验观点的相应评论。
③ 参见S。C。克林尼在克林尼和韦斯莱1965年的著作第176…183页上关于布劳威尔的评论（1951年版，第357…358页），克林尼按照布劳威尔1949年著作第1248页的注释作评论。
④ 海廷语，载于拉卡托斯编的书，1967年版，第173页。
⑤ 参见拉卡托斯著作，1963…1964年版，特别是第229—235页。
正因为这个理由，我认为布劳威尔的主观主义认识论和为他的直觉主义数学所作的哲学辩护都是错误的。构造，批判、“直觉”甚至传统之间有一种互相妥协的关系，而他没有考虑到。
可是，我准备承认，甚至在布劳威尔关于语言的地位的错误观点中也有部分正确的东西。尽管所有科学包括数学的客观性与其可批判性紧紧连在一起并因而与它的语言表达连在一起，布劳威尔在强烈反对这样的观点上却是正确的：数学只不过是一种形式上的语言游戏，或换言之，不存在语言外的数学客体这样的东西，就是说�