”①他将葛氏原有之86 首并为79 首，然后再加入自己补阙之22 首，成101 首，取佛教四大各一百一病之说而命名，使葛氏书更富盛名。
《养性延命录》是陶弘景论述养生养性以求健康长寿的专门著作，也是总结梁以前中国延年益寿经验的重要著作。分上下两卷，上卷叙述教诫、食诫、杂诫、祈禳之类，下卷则论服气疗病、导引按摩等，其吐纳咽液、行气② 陶弘景《本草经集注》，参见《重修政和经史证类备用本草》引文。
① 赵燏黄《回顾历代本草沿革概况与研究国产生药的意见》，《医药学》1951 年第6 期。① 陶弘景《补阙肘后百一方》自序，见丹波元胤《中国医籍考》，人民卫生出版社版。攻病以及叩齿、握固、乾浴等气功导引要领和方法，均对其后有着较大的影响。书末所附华佗五禽戏，更是现存最早的五禽戏动作要领的文献。这些内容至今仍是人们锻炼身体和防治老年病的有效方法。
综上所述，陶弘景虽是一位虔诚的道教信徒，终生执着追求神仙之术，但在其终生从事的炼丹研究，药物学的广泛研究和深入细致的整理校勘，以及尽心为群众疾苦而总结编撰医疗方书方面，作出了许多可贵的贡献，促进了我国科学技术和医药科学的发展和进步。明代著名药物学家李时珍评陶书“颇有裨益”，同时指出“亦多谬误”。而其谬误是因“南北隔绝”，“陶隐居不详北药”的关系。
第十五章祖冲之、范缜、郦道元第一节祖冲之家世与生平祖冲之（429—500），是南北朝时期杰出的数学家、天文学家和机械发明家。字文远，范阳郡遒县（今河北涞源）人，刘宋元嘉六年（429）生于建康（今江苏南京）。曾祖父祖台之，东晋时曾任侍中、光禄大夫等要职。祖父祖昌任刘宋大匠卿，是主管土木工程的官员。父亲祖朔之为奉朝请，学识渊博，很受时人敬重。祖氏家庭的历代成员有较高的科学素养，大都对数学和天文历法有所研究。祖冲之自幼受到科学气氛的薰陶和良好的家庭教育，青年时代曾到华林学省专门从事学术研究。后来步入仕途，先后在刘宋朝和南齐朝担任南徐州（今江苏镇江）从事史、公府参军、娄县（今江苏昆山）令、谒者仆射、长水校尉等官职。任职期间，曾写过《安边论》等讨论屯田、垦殖等方面应采取的政策的政论性文章。晚年，齐明帝曾令他巡行四方，兴造大业，以利百姓，但因发生战争而作罢。这时他已是风烛残年，老死将至，不久后即于南齐永元二年（500）逝世，享年七十二岁。
祖冲之从很小的时候起便对数学和天文学产生了浓厚的兴趣。他“专功数术，搜炼古今”，广泛收集从上古时代起直到6 世纪他生活的时代止的各种文献资料，进行了认真的考察。他还“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策”，在公余之暇坚持进行天文观测和数学计算，积累了大量的新资料。经过深入研究，他终于在数学、天文学和机械制造、交通工具等领域，获得许多极有价值的新成果，攀登上了他生活时代的科学技术高峰。
关于圆周率的计算祖冲之在数学方面的突出贡献是关于圆周率的计算，确定了相当精确的圆周率值。中国古代最初采用的圆周率是“周三径一”，也就是说，π＝3。这个数值与当时文化发达的其他国家所用的圆周率相同。但这个数值非常粗疏，用它计算会造成很大的误差。随着生产和科学的发展，π＝3 就越来越不能满足精确计算的要求。因此，中外数学家都开始探索圆周率的算法和推求比较精确的圆周率值。在中国，据公元1 世纪初制造的新莽嘉量斛（亦称律嘉量斛，王莽铜斛，是一种圆柱形标准量器，现存）推算，它所取的圆周率是。世纪初，东汉天文学家张衡在《灵宪》中取用π＝ 3。1547 2730232≈ ，又在球体积计算中取用π＝ ≈ 。三国时东吴天文学3。1466 3。1622 10家王蕃在浑仪论说中取用π＝ ≈ 。以上这些圆周率近似值，比起142453。1556古率“周三径一”，精确度有所提高，其中π＝ 还是世界上最早的记录。但这些数值大多是经验结果，并没有可靠10的理论依据。在这方面最先取得突破性进展的是魏晋之际的数学家刘徽。他在《九章算术注》中创立了“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法。他所得到的圆周率值π＝ ＝ 与π＝15750392712503。14＝3。1416，都很精确，在当时世界上是很先进的，至今仍在经常使用。继刘徽之后，祖冲之则将圆周率推算到更加精确的程度。据《隋书·律历志》记载，祖冲之确定了π的不足近似值3。1415926 和过剩近似值3。1415927，π的真值在这两个近似值之间，即3。1415926＜π＜3。1415927 精确到小数7 位。这是当时世界上最先进的数学成果，直到约一千年后，才为15 世纪中亚数学家阿尔·卡西（Al—kash1 16 F。Vi ta 1540 1603） ））和世纪法国数学家韦达（ è ， — ）所超过。关于他得到这两个数值的方法，史无明载，一般认为是基于刘徽割圆术。通过现代计算验证，如果按照割圆术计算，要得到小数7 位准确的圆周率值，必须求出圆内接正12288 边形的边长和24576 边形的面积，这样，就要对9 位数进行上百次加减乘除和开方运算，还要选择适当的有效数字，保证准确的误差范围。对于用算筹计算的古代数学家来说，这绝不是一件轻而易举的事情，只有掌握纯熟的理论和技巧，并具备踏踏实实和一丝不苟的研究精神，才能取得这样的杰出成就。祖冲之的这项记录在中国也保持了一千多年。中国古代数学家和天文学家还往往用分数表示常量的近似值。为此，祖冲之确定了π的两个分数形式的近似值：约率π＝227≈ ，密率π＝ ≈ 。这两个数值都是π的渐近分数。其3。14 3。1415929355113中约率，刘宋天文学家何承天及古希腊阿基米德等都已用到过。密率227355113是π的分母小于的最佳近似分数，则为祖冲之首创。关于密率10000355113是如何得到的，今人有“调日法”术，连分数法，解同余式或不定方程，割圆术等种种推测，迄今尚无定论。在欧洲，π＝ 是世纪由35511316德国数学家奥托（V。Otto ，1550（？）—1605）和荷兰工程师安托尼兹（A。Anthonisz，1527—1607）分别得到，后通称“安托尼兹率”，但这已是祖冲之以后一千多年的事情了。自从我国古代灿烂的科学文化逐渐得到世界公认以来，一些学者就建议把π＝ 称为“祖率”，以纪念祖冲之355113的杰出贡献。
关于球的体积公式及其证明祖冲之的另一项重要数学成就是关于球的体积公式及其证明。各种几何体的体积计算是古代几何学中的基本内容。《九章算术》商功章已经正确地解决了棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等各种几何体的体积计算问题。但球体积的计算比较复杂，《九章算术》中的球体积公式相当于＝ V d9163（d 为球的直径），是一个误差很大的近似公式。东汉科学家张衡曾经研究了这个问题，他试图通过先求出球与外切正方体的体积之比然后再来计算球体积，但没有得到正确的结果。魏晋时的刘徽则将球体积问题的研究推进了一大步。他指出，《九章算术》少广章所说球与其外切圆柱的体积之比为π∶4，这一结论是错误的，并且说明球与外切于球的“牟合方盖”的体积之比才是π∶4（两个底半径相同的圆柱垂直相交，其公共部分称为“牟合方盖”，好像两把扣在一起且上下对称的正方形的伞）。因此，只要求出牟合方盖体积，就可推算出球体积。然而，刘徽始终未能求出牟合方盖体积，所以也未能解决球体积问题。他在《九章算术》少广章开立圆术的注释中说，“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者”，实事求是的提出问题，留待后人去解决，表现了一位杰出科学家的虚心和慎重的科学态度。以后又经过近200 年，祖冲之及其子祖暅才对于这一问题取得了突破。祖冲之父子通过对牟合方盖水平截面面积的分析，判定它的体积等于正方体与两个正方锥的体积之差，从而推算出牟合方盖的体积等于2 3d 3（ 为球的直径长度），并进一步得到正确的球体积公式＝ π ， d V d 3 16完全解决了球体积的计算问题。由于当时用圆周率，所以他们的球体227积公式为＝ 。祖氏父子在推导球体积公式过程中，还明确地提出了V11213 d一个重要原理：“幂势不同，则积不容异”①，即二立体如果在等高处截面的面积相等，则它们的体积也必定相等。这个原理现常被称为“祖氏公理”。在西方，这个原理也是一千年后才由17 世纪意大利数学家卡瓦列里（F。B。Cavalieri，1598—1647）提出来的，并被称为“卡瓦列里公理”。这个原理很重要，它是后来创立微积分学的不可缺少的一步。
《隋书·律历志》在叙述祖冲之圆周率之后说他，“又设开差幂，开差立，兼以正负参之，指要精密，算氏之最者也”①。据考证，这可能是指开带从平方和开带从立方法，即解一般形式的二次方程和三次方程，其中各项系数可正可负，在当时中国乃至世界上，要解决这类问题都是比较困难的。但因祖冲之的解法早已失传，现已无法了解其具体内容。祖冲之及其子祖暅的数学成就总结在《缀术》一书中。唐显庆元年（656）国子监添设算学馆，规定《缀术》为必读的“十部算经”之一，学习期限为四年，是数学书中学习时间最长的一种。《缀术》还曾传入朝鲜和日本，被选作数学教育的教材。可惜的是祖冲之的这部数学专著早已失传，其具体内容已无法详知了。
对天文历法的研究祖冲之对天文历法的研究早在青少年时代就已经开始了。经过多年的实际观测和反复推算，他发现当时行用的何承天《元嘉历》已经与实际天象不合。例如按《元嘉历》算出的冬至时太阳所在位置与实测结果已差3 度，冬① 《九章算术》少广章开立圆术李淳风注。
① “负”字原著为“员”，此据钱宝琮主编《中国数学史》校改。
至和夏至时刻已差1 天，五星出没时间差40 天，等等。这种情况显然是必须加以改变的。因此，他着手编制了一部新的历法，即后世所称的《大明历》。祖冲之在天文历法方面的成就，大都包含在《大明历》和为《大明历》所写的“驳议”之中。按祖冲之的自述，《大明历》“改易之意有二，设法之情有三”。所谓“改易”是指在历法计算中引进岁差和对闰周的改革，这是中国历法史上的重大进步，对后世产生了深远的影响。所谓“设法”是指推算上元积年时增加了一些条件，如甲子年，十一月初一为甲子日，日月合璧，五星联珠等，这在数学上对于同余式解法的研究有所推动，但对于历法的发展并没有太大的意义。
祖冲之《大明历》的重要贡献是在历法计算中首先考虑了岁差的影响。
冬至时刻太阳在黄道上的位置叫做冬至点。中国古代的天文学家最初认为，太阳在黄道上运行，从冬至点开始经过一个回归年又回到原来的冬至点，也就是说，冬至点是固定不变的�