博尔德在
1951年首先使用的）。
早期的自动化
会模仿人类的预见力和判断力的机械装置，不论这种模仿是
多么的粗糙，一旦发明出来总会引发一些人的想象力。他们会因
此而考虑是否可能造出某种大体上能完全模仿人类活动的装
置——一部自动机。神话和传说中充满了这类东西。
神话和传说中只有神仙和魔法师才会制造这种东西，而普通
的人开始掌握这种技艺是和中世纪时钟表业的逐渐发展分不开
的。随着钟表结构日趋复杂，时钟机构（指运用错综相联的齿轮使
某一装置按正确顺序并在恰当的时间做出某种运动的机构）也在
发展。有了时钟机构，就有可能制造出能越来越接近模仿和生命
有关的行为的东西。
18世纪开始了自动机的黄金时代。有人为法国皇太子制造
了自动玩具兵；一位印度统治者还拥有一只六脚机械虎。
但是，这种皇家的玩艺儿很快就被商业冒险超过了。
1738
年，法国人沃康松制作了一只铜的机械鸭子。这鸭子会嘎嘎叫、洗
澡、饮水、吃谷物，还会做出消化、排泄所吃下的东西的样子。人们
花钱来看这只机器鸭子。它为主人挣了几年的钱，但没有能够存
留到现在。
后来出现的一部自动机被保存了下来，现存在瑞士纳沙泰尔
一家博物馆里。这是一个自动抄写员，是由雅克…德罗兹在
1774
年制作的。它的外形是一个男孩，这个孩子能用笔在墨水池中蘸
墨水并写下一封信。
当然，这类自动机都是一成不变的。它们只能做时钟机构所
指定的动作。
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然而，没过多久，自动性的原理就变得具有灵活性，其应用也
从欣赏物转到了有用的工作方面。
第一个重要的例子是由法国织布工雅卡尔发明的。他在
1801年设计出了一种叫提花机的织机。
在这种织机上，一般情况下针通过一块木头上的孔后将线交
错织起来。但是假设在针和孔之间放上了一张打了孔的卡片，那
么卡片上的孔会让针穿过去并照常进入木头。而在卡片上没有打
孔的地方，针不能通过。这样，有些地方会有交织，有些地方则没
有。
如果有不同的穿孔卡片，孔的安排有所区别，那么按某一特定
顺序将这些卡片插入机器，就会由能通过和不能通过的针脚上的
变化构成一种图案，通过适当地安排卡片，原则上可以相当自动地
形成任何图案。用现代术语来说，安排卡片就是给织机编程序。
其后，织机所做的事情看上去就像是出自它的本意，还像是艺术创
作。
提花机最重要的一点，就是它通过一种简单的“是或非”的二
分法获得了惊人的成功（到了
1812年，在法国已有
11 000台这种
织机，并且在拿破仑战争一结束就传到了英国）。在某一特定位置
或者有一个孔，或者没有孔。织机运转只需要一个片面上的“是非
－是－是－非……”之类的模式就可以了。
从那以后，专为模仿人类思想而设计的越来越复杂的装置中
都采用更精妙的方法处理是－非模式。想从一种简单的是－非模式
得到复杂的、类似人类的结果似乎是十分可笑的。但是事实上这
样做的数学基础早在
17世纪就已得到了证明。在那以前，人们已
经为算术计算机械化以及为找到人脑活动的辅助装置而做了几千
年的尝试。
第十七章 头 脑
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算术计算
用于算术计算的最早的工具一定要数人的手指了。当人们使
用他们自己的手指来表示数字和数的组合时，就揭开了数学的历
史。英语“digit”一词，即有手指（或脚趾）的意思，也有整数的意
思，这一点并非巧合。
从那以后，再进一步就出现了用其他物体（可能是卵石）代替
手指做计算的情况。卵石比手指多，而且在解题的过程中，用卵石
还可以保存中间结果，以便将来参考。因而，英语计算一词来自拉
丁语的“卵石”，这也不是巧合。
把卵石或珠子排在槽中或串在绳子上，就形成了算盘，它是第
一种真正具有多种用途的数学工具（图
17…5）。有了它就可以很
容易地表示个、十、百、千等等。通过移动算盘的卵石或筹码，可以
迅速完成诸如
576＋289这样的加法运算。而且，任何可用来做加
法的仪器也可用来做乘法，因为乘法不过是重复相加而已。另外，
能做乘法也就能做乘方运算了，因为乘方就是重复相乘（例如，
45
是
4×4×4×4×4的简化表达方式）。最后，假如能反向操作这种
仪器，那么就可以做减、除和求方根的运算了。
可以把算盘看作是第二种数字计算机（第一种当然是手指
了）。
算盘连续几千年一直是最进步的计算工具。在西方，罗马帝
国灭亡以后算盘的使用实际上就失传了。在大约公元
1000年，教
皇西尔维斯特二世又重新引进了算盘。这次可能是从摩尔人的西
班牙引进的，在那里人们一直未停止使用算盘。算盘重新出现以
后，人们把它当作东方世界的新鲜玩艺，而不记得它的西方根源
了。
第一种可以代替算盘的事物是一种模仿算盘工作的数字记
法。这种记数法就是我们今天所说的阿拉伯数字，它在公元
800
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年左右发源于印度，后来让阿拉伯人学会了，最后在大约公元
1200年由意大利数字家、比萨的莱奥纳尔多介绍到西方。
在这种新的记数法中，算盘表示个位的那一行中的九颗不同
的卵石由九个不同的符号表示，在十位行、百位行和千位行中也使
用这九个符号。位置互不相同的筹码由位置互不相同的符号来代
替，例，在数字 222中，第一个 2代表 200，第二个 2代表 20，而第
三个 2则代表 2本身；也就是，200＋20＋2=222。
这种“位置记数法”之所以能够出现，是因为有人认识到了古
图 17…5用算盘做加法。横杠下面每个算珠表示 1；横杠上面每个算珠表示 5。
将算珠拨向横杠表示计数。这样，左上图中，最右面一列的读数是 0；从右数第
二列读数是 7或（5＋2）；右起第三列读数是 8或（5＋3）；右起第四列数是 1。于
是，算盘上显示的数字就是 1870。如果在这个数字上再加上 549，最右列一列变
成了 9或（5＋4）；右起第二列的加法是四去六进一，即向上位进 1后本位余 1，这
样就要在右起第三列拨上一只算珠；右起第三列的加法结果为进 1余 4；而右起
第四列的加法即为 1＋1或 2。以上运算的答案是 2419，如右上图中的算盘所
示。进 1的方法非常简单，不过是在左面一列中拨上一粒算珠而已，因而计算的
速度可以很快。一位会熟练运用算盘的人做加法的速度能超过加法机，这一点
在 1946年举行的一次实际测验中得到了证实。
第十七章 头 脑
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代算盘使用者所忽略的一个十分重要的事实。虽然在算盘的每一
行中只有
9个筹码，但却有
10种不同的排列方法。除了将
1到
9
的
9个筹码排成一行以外，还可以不使用筹码——即把计数位置
空出来。所有伟大的希腊数学家都没有注意到这一点；一直到了
9世纪，才有某个不知姓名的印度教徒想到要用一个特别的符号
“0”来代表这第十种排列。这个符号阿拉伯人叫做
“sifr”（空的），
英语中具有“零”的意思的两个词都是来源于这个字（
cipher和
zero）。现在，英语中摆弄数字有时仍叫做“
ciphering”（计算），而求
解难题叫做“decipher”（破解），这都说明了零的重要性。
而指数表示数的乘方提供了另一种有力的工具。将
100表示
成
102，1 000表示成
103，100 000表示成
105，等等，从几方面来说
都很方便。这样做不仅使大数的写法简单化了，而且将乘法和除
法运算简化为指数的加减法运算（例如，
102×103=105），还把乘方
和求方根的运算变为简单的指数乘除法运算（例如，
1 000 000的
立方根是
106/3=102）。这些当然都挺不错，但是能写成简单的指
数形式的数是很少的。对像
111这样的数又该怎么办呢？对这个
问题的回答引出了对数表。
第一个研究这个问题的是
17世纪的苏格兰数学家纳皮尔。
显然，想把
111这样一个数字表示成
10的幂的形式，则
10的指数
不会是整数（这个指数是
2和
3之间的一个小数）。总的来说，如
果所考虑的数本身不是底数的整数倍，那么指数就会是小数。纳
皮尔找到了一种计算数字所对应的小数形式的指数的方法，并将
这种指数命名为对数。不久以后，英国数学家
H。 布里格斯简化了
这种方法并算出了以
10为底的对数。布里格斯对数（即常用对
数）在微积分中不大好使，但在普通计算中则用得较多。
所有非整数的指数都是无理数，也就是说，它们不能表示成普
通分数的形式。它们只能用无限不循环小数来表示。然而，这样
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一个小数可以按照需要计算到任意多的位数。
例如，让我们假定我们想要计算
111和
254两数的乘积。111
的常用对数，精确到小数点后五位，是
2。04532，而
254的常用对
数则为
2。40483。把这两个对数加起来，我们得到
102。04532 ×
102。40483＝104。45015。这个数大约等于
28 194，也就是
111×254的
积。如果我们想达到更高的精确度，我们可以使用精确到小数点
后六位或更多位的对数。
对数表大大简化了计算工作。在
1622年英国数学家奥特雷
德设计了一种计算尺，使计算变得更加容易。他在两把尺上都标
上了对数刻度。在这种刻度中，数字越大，数字间的距离就越短。
例如，第一段包含
1到
10的数字，长度与第一段相同的第二段包
含
10到
100间的数字，而同样长度的第三段则包含
100到
1 000
间的数字，等等。通过将一把尺沿着另一把尺滑到适当的位置，就
能读出乘除计算的答案。使用计算尺进行运算就像用算盘做加减
法一样容易，当然，这要使用者能熟练运用这种工具才谈得上。
计算机
向真正自动的计算机迈出的第一步，是由法国数学家帕斯卡
在
1642年完成的，他发明了一种加法机，使用时不用像使用算盘
那样在每一行上分别移动筹码。它由一套联在一起的齿轮组成。
如果把第一个轮子——个位轮——转动
10个格到它的
0刻度，则
第二个轮子就会向上转
1个格到它的
1刻度，这样两个轮子在一
起就会显示
10这个数字。如果十位轮转到了它的
0刻度，则第三
个轮子会向上转
1个格，显示
100，等等。（这种加法机的原理和
汽车里程表的原理是一样的。）据说帕斯卡制作了
50多部这种加
法机，其中至少有
5部存留至今。
帕斯卡的装置只能做加法和减法。在
1674年