体
8倍的东西，则需要
8倍的力。因此，作用于任何物体上的地球
的引力都必然和它的质量正好成正比。事实上，这便是在地球表
面上质量可以计量得和重量一样的原因。
牛顿还推导出第三运动定律：对于每一作用，都有一大小相
等、方向相反的反作用。这个定律适用于力的观念。换句话说，如
果地球以一定的力吸引月球，那么月球也以相等的力吸引地球。
按照第二定律，如果月球的质量突然加倍，地球作用在它上面的力
也会随之加倍。当然，按照第三定律，月球对地球的引力也会加
倍。
同样，如果不是月球，而是地球的质量加倍，按照第二定律，月
球作用在地球上的引力会加倍，同时按照第三定律，地球作用于月
球的引力也会加倍。
如果地球和月球的质量都加倍，则会有两个加倍，每一个物体
的引力都会加倍两次，总共增加为
4倍。
在这种推理之下，牛顿只能做出这样的结论，就是宇宙中任何
两个物体之间的引力和它们质量的乘积成正比。同时，当然也和
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两者中心的距离之平方成反比。这就是牛顿的万有引力定律。
如果我们用 f 表示引力，m1和 m2表示两物体的质量，d表
示两者之间的距离，那么这个定律可以写成：
Gm m
f =
12
2
d
G是万有引力常数，它的值可以用来测量地球的重量（详见第四
章）。牛顿推测在宇宙各处 G都是一个恒定值。随着时间的推
移，人们发现在牛顿时期未能看见的行星，以牛顿定律的要求在运
动，甚至遥远的双星也按照牛顿关于宇宙的分析在运行。
这一切都是由伽利略对宇宙的新的定量观点得来的。你可以
看得出，牵涉到的数学大都十分简单，所提到的都是高中代数而
已。
事实上，我们上面所介绍的最重要的一项智慧革命是：
1。 简单的一组观察，任何学过高中物理的学生稍微接受一点
指导就有可能做出来。
2。 简单的一组只有高中程度的数学概念。
3。 两位杰出的天才，伽利略与牛顿。他们有特殊的洞察力和
创造力，因而首先完成了这些观察和推论。
相 对 论
由伽利略和牛顿所推衍出的运动定律必须依靠一项假设，就
是绝对运动的存在。所谓绝对运动，也就是相对于静止物体的运
动。我们知道宇宙中的每一个物体，如地球、太阳以及所有的银河
系都在运动，那么在宇宙中，我们怎样才能找到绝对的静止，来测
附录：科学中的数学
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量绝对的运动呢？
迈克耳孙…莫雷实验
由于这条思路，引出了迈克耳孙 …莫雷实验，而这个实验又导
致如同当年伽利略那样伟大的科学革命。在这里，基本的数学也
是相当地简单。
这个实验是尝试测定地球相对于以太的绝对运动。以太被认
为充满了整个宇宙，而且是静止的。实验的推理如下：
假设有一束光，沿地球运行的方向通过以太；在这个方向的某
处，固定一面镜子把这束光反射回光源。让我们以 c来表示光的
速度，以 v来表示地球通过的以太的速度，光源离镜子的距离是
d。光束以它自己的速度加上地球的速度开始，也就是一般所说
的顺风。它到达镜子需要的时间是 d除以（ c ＋ v）。
然而在回程中，情况正好相反。反射的光束正好逆着地球的
速度方向射过来，因此它的净速度是 c …v，它返回光源所需的时
间是 d除以（ c …v）。
往返一次所需的总时间是：
dd
＋
cv c 。
＋
v
把这两项做代数的相加，我们得到：
（ 。
v） ＋
dc ＋
v） dc 。
dv ＋
dc ＋
dv
dc （2dc
22 22
（c ＋
v）（ c 。
v） c 。
vc 。v
现在假设光束进行的方向和地球通过以太的方向垂直，那么
这束光从 S射向距离 d处的镜子 M时，在光束到达镜子的这段
时间里，地球的运动已把镜子从 M带到 M'处，所以光束真正走的
路径是从 S到 M'。这个距离我们叫它 x，而从 M到 M'的距离叫
做 y（见下页图）。
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当光束以速度
c在距离
x中
运动时，镜子也以地球速度
v在
距离
y中运动。由于光束和镜子
同时到达
M'，因此所走的距离必
然和各自的速度成正比。所以，
yv
=
x c
或者：
y =vx
c
现在，我们可以用毕达哥拉斯定
理（勾股定理）求出
x的值。毕
氏定理告诉我们，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平
方。因此，以
vx/c代表
y，在直角三角形
SMM'里：
22 。
vx 。2
x =
d ＋。
。
。
c 。
2 。
vx 。22
x 。=
d
。。
。
c 。
22
vx x2。
2 =
d 2
c
22 22
cx 。
vx 2
2 =
d
c
2 22 22
（c 。
v ）x =
dc
22
2 dc x =
c2。
v2
dc
x =
c2。v2
光束在
M'被镜子反射回到光源，在这段时间内光走到
S″。
由于
S'S″和
SS'距离相等，所以
M'S″的距离也就等于
x。所以光
附录：科学中的数学
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束走的总距离是
2x，或者是
c
22
dc
。v2
。
光束走这段距离所需的时间是：
2dc 2d
c
÷=
22 22
c 。vc 。v
这和光束沿地球运动的方向往返一次所需的时间比起来是怎
样呢？让我们把平行情况下所需的时间
。。。
c22。
dcv2
。
。。
除以垂直情况下
。。
所需的时间
。。
c
22
d
。v2 。。
：
22 22
2dc 2d 2dc c 。v cc 。v
÷
=×
=
22 22
c2 。v2 c2 。v2 c 。v 2dc 。v
因为每一个数被自己的平方根来除，得到的商是自己的平方
根，也就是说
x / x =x ，因此，
x / x =1/ x 。所以最后的式
子简化为：
c
c2 。v2
如果我们把分子和分母同时乘上
1/c2 （等于
1/c）的话，上
面的式子可以进一步简化为：
c 1/c2 c /c 1
222 2222 22
c 。v 1/cc /c 。v /c 1。v /c
这就好了。这就是平行于地球运动方向和垂直于地球运动方
向光束所需的时间比。对于任何比零大的
v值，1/ 。2/2
1 vc 都
大于
1。因此，如果地球正在穿越静止的以太，那么光束在地球运
动方向上所走的时间，要比在垂直方向上所走的时间长。事实上，
平行的运动需要时间最多，而垂直的运动需要时间最少。
迈克耳孙和莫雷准备以实验来测量光束在传播期间的方向差
异。他们使光束在各方向上被反射回来，同时以相当精确的干涉
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计测量返回的时间。他们认为应该可以得到相当大的速度差，光
速最低值应该产生在和地球绝对运动平行的方向，而最高值则应
当产生在垂直的方向。根据速度的差值，地球的绝对运动速度及
方向应该都可以求出来。
结果他们发现，改变方向之后，光速并没有任何差别。换句话
说，无论光源怎么运动，光速始终都等于
c。这和牛顿运动定律明
显地不符。在尝试测量地球绝对运动之时，迈克耳孙和莫雷不仅
怀疑以太的存在，而且怀疑绝对静止和绝对运动的整个概念，也怀
疑牛顿宇宙系统的基础。
斐兹杰惹方程
爱尔兰物理学家斐兹杰惹想出了一个方法来挽救这种状况。
他提出，所有物体的长度会在自己的运动方向上缩短，缩短的量是
1 2/2 ，因此：
。
vc
'L=
/1。
2/ 2
Lvc
L'是一个运动物体在它的运动方向上的长度，而
L则是静止时的
长度。
斐兹杰惹指出，缩短的量
1。
vc
2/ 2 正好抵消在迈克耳孙…莫
雷实验中光速最大值和最小值的比
1。
vc
2/ 2 。因此比会成为
1，而光速则不论光源如何通过以太，对我们的测量工具和感官而
言，各个方向都是相等的。
在正常状况下，缩短的量非常之少。即使一个物体的运动速
度是光速的
1/10，或者说是每秒
29 980公里，依照斐兹杰惹方程，
也只会缩短一点点，把光速当做
1，这个方程告诉我们：
。
0。1 。2
L'L1
=
。。
。
。
1 。
附录：科学中的数学
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L' =L 10。01
。
L' =L 0。99
因此
L'变成大约
0。995L，缩短的量只有
0。5％。
对运动物体而言，像这样的速度只会发生在亚原子粒子的领
域中。一架时速
3 000公里的飞机，它的缩短量小到几乎可以不
计，你自己可以算算看。
在什么样的速度下，一个物体会缩短为静止长度的一半呢？由
于
L'等于
L的
1/2，斐兹杰惹方程变成：
L /2 =L 1。v2/ c2
用
L来除变为：
2/2
1/ 2 =1。vc
把方程两边平方：
=。2/ 2
1/4 1 vc
22
vc/ =3/4
v =
3/4 c =0。866 c
因为在真空中光速是每秒
299 800公里，所以要使物体缩短一半长
度的速度是
299 800公里的
0。886倍，大约是
259 600公里。
如果一个物体以光速进行，那么
v就等于
c，方程就变成：
L' =L 1。v2/ c2 =L 0 =0
因此在光速时，在运动方向上的长度变成零，所以没有任何速度可
能超过光速。
洛仑兹方程
在斐兹杰惹提出他的方程后不到
10年，便发现了电子，科学家
们开始研究这种微小的带电粒子的性质。H。 A。 洛仑兹发展出一种
理论，认为带一定电荷的粒子，其质量和它的半径成反比。换句话
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说，一个粒子的电荷聚集在愈小的体积里，它的质量也就愈大。
现在，如果一个粒子因为它的运动而被缩短，它在运动方向上
的半径将按照斐兹杰惹方程而减少。以符号
R和
R'代替
L和
L'，我们写下方程：
R' =
R 1。
v2/ c2
R' / R =
1。v2/ c2
由于粒子的质量和它的半径成反比，因此：
R' M
=
R M'
M是粒子静止时的质量，而
M'是运动时的质量。
以
M/M'代替
R/R'放入上面的方程里，我们得到：
M 22
=
1。
/
vc
M'
M
M' =
1。2/ 2
vc
洛仑兹方程可以和斐兹杰惹方程一样应用。例如，以
1/10光速运
动的粒子，视质量
M'会比静止质量
M高出
0。5％。在每秒
259 600公里的速度时，粒子的视质量会是静止质量的两倍。
最后，对一个运动速度等于光速
c的粒子，洛仑兹方程变成：
MM
M'
2 20
1。/
vc
当分数中的分子是一个定数而分母愈来愈小（趋近于零）时，分数
的值会变得愈来愈大，而且�