计描述层次上的稳定性。
这如何可能呢？佩龙…弗罗贝尼乌斯算符仍允许轨道描述δ（x…xn＋1）=Uδ（x…xn），但意料之外的特点是，它还允许只适用于统计系综而不适用于个体轨道的新解。个体观点与统计描述之间的等价性被打破了。
这件令人震惊的事实揭开了数学和理论物理学的新篇章。虽然混沌问题不能在个体轨道层次上加以解决，但它能在系综层次上得到解决。我们现在可以谈论混沌定律。我们将在第四章里看到，我们甚至可以预言分布ρ趋向平衡的速率（对于伯努利映射它是常量），并建立这一速率与李雅普诺夫指数之间的关系。
我们怎么理解个体描述与统计描述之间的差异呢？在第四章，我们将更详细地分析这一情况。我们将看到，这些新解需要分布函数光滑，这就是为什么此种新解不适用于个体轨道的原因。用δ（x…xn）表示的轨道不是光滑函数，因为它当且仅当x＝xn时不为零，当x≠Xn时为零。
因此，用分布函数的描述比从个体轨道导出的描述更加丰富，这和我们在第一章第III节所得出的结论一致。对于不稳定映射，轨道仅是佩龙…弗罗贝尼乌斯方程的特解。这也适用于具有庞加莱共振的系统（参见第五、第六章）。就概率分布而言，有时间方向的关联流是这些新解中的要素，而无时间方向的过程存在于个体轨道层次。
我们方法根本性的妙招，是打破个体描述与统计描述之间的等价性。下一章我们将更详细地讨论在统计层次出现于混沌映射中的新解。
我们现在发现自己所处的情况令人联想起我们在热力学中遇到的情况（见第二章）。平衡热力学的异常成功，妨碍了其中出现耗散结构和自组织的非平衡情形中物质的新属性的发现。类似地，经典轨道理论和量子力学的成功，阻碍了动力学向统计层次的扩展，阻碍了把不可逆性结合到对自然的基本描述之中。
《确定性的终结》
伊利亚·普利高津著 湛敏译
第四章 混沌定律
I
在第三章，我们阐述了使我们能够对于不稳定动力学系统扩展经典力学和量子力学的要素：打破个体描述（用轨道）与统计描述（用系综）之间的等价性。现在，我们想就简单混沌映射更贴近地分析这种不等价性，并说明这一结果如何与数学的最新进展相关联。我们先回到伯努利映射。如前所述，这是确定性混沌的一个例子。
根据运动方程xn＋1＝2xn（mod 1），一旦我们已知初始条件x0，则对于任意的n，都能够计算xn。然而，一个随机性要素仍然呈现出来。在0和1之间的任意数x可以用二进制数字系统表示：x=u0/2＋u…1/4＋u…2/8…，其中ui=0或1（我们用负下标u…1、u…2来引入将在第III节中研究的面包师变换）。于是，每个数xn都用一系列数字来表示。不难证明，当它把数ui向左边移动时，伯努利映射导出推移un'=un…1（例如，u'…2＝ u…3）。数列 u…1，u…2，…中的每个数的值与其他数的值无关，所以每一逐次推移的结果像掷硬币一样是随机的。这个系统叫做“伯努利推移”，以纪念18世纪大数学家伯努利（Jakob Bernoulli）在机遇游戏中的开创性工作。在这里，我们还可以看到对初始条件的敏感性：仅有微小差别的两个数（比如说，u…40不同，即差异小于2…39），在40步后竞相差1/2。我们已解释过，这种敏感性对应于一个正李雅普诺夫指数，当x在每一步都加倍时，它的值为ln2（参见第三章第II节）。
伯努利映射从一开始就引入只指向一个方向的时间之矢。如果不考虑 xn＋1＝2xn（mod 1），而考虑映射xn＋1＝1/2 xn，我们会在x＝0处发现一个单点吸引子。时间对称性在运动方程层次被打破，故运动方程不是可逆的。这和牛顿描述的动力学系统形成对照，因为牛顿运动方程对于时间反演是不变的。
在这一关头要牢记的最重要一点是，轨道不足胜任。轨道不能描述混沌系统的时间演化，即使混沌系统由确定性运动方程所支配。迪昂（Pierre－Maurice Duhem）早在1906年就指出，仅当我们对初始条件作少许改变时，轨道保持几乎相同，轨道概念才是一种适当的表示方式。用轨道描述混沌系统恰恰缺少这种稳健性。这正是对初始条件敏感性的含义：两条轨道从我们所能想象的尽可能靠近的两点出发，随着时间的推移，它们将按指数发散。
相反，在统计层次上描述混沌系统没有什么困难。因此，正是在统计层次上我们必须表述混沌定律。在第三章，我们引入了佩龙…菲罗贝尼乌斯算符U，它把概率分布ρ（x）变换成ρ n＋1（x）。我们得出结论：存在着不适用于个体轨道的新解，本章中我们想要确认的正是这些新解。对佩龙…弗罗贝尼乌斯算符的研究是一个发展很快的领域，它在这里特别有意义，因为混沌映射或许是显示不可逆过程的最简单系统。
玻尔兹曼将他的思想应用到包含庞大数量分子（10 23 数量级）的气体，但在这里正好相反，我们只处理少量自变量（伯努利映射仅有一个自变量，我们将简要考察的面包师映射也只有两个自变量）。我们将不得不再次摈弃此种论点，即不可逆性只是因为我们的测量受限于近似而存在。我们先来确认与统计描述相联系的一类新解。
II
我们如何在统计层次上求解动力学问题？首先我们必需确定分布函数ρ（x），以便能观察到复现关系 ρ n＋1（x）=U ρ（x）。（n＋1）次映射后，分布函数ρ n＋1（x）由作用于 ρ n（x）上的算符U所得到，ρn（x）是n次映射后的分布函数。在经典力学和量子力学中我们将遇到同一类型的问题。至于其原因，我们将在第六章解释。算符表述首先是在量子理论中引入的，然后扩展到了其他物理学领域，最有名的是统计力学。
算符不过是如何作用在给定函数上的一种规定而已，它可以包括乘法、微分及其他任何数学运算。要定义算符，我们必须明确其使用范围。算符作用于什么类型的函数上？这些函数是连续的，有界的，还是具有其他性质？这些性质定义了函数空间。
一般说来，算符U作用在函数f（x）上会把它变换成不同的函数。（例如，若U是一个导数算符 d/dx，则Ux2＝2x。）但是，有些函数当我们用U作用于它们时保持不变，它们只是乘上了一个数。这些特殊的函数称为算符的本征函数，与本证函数相乘的那个数称为本征值。在上面的例子中，ekx是一个本征函数，相应的本征值是k。算符分析中的一个基本定理指出，我们可以用算符的本征函数和本征值来表达算符，本征函数和本征值都依赖于函数空间。其中特别重要的是所谓“希尔伯特空间”，它已被从事量子力学研究的理论物理学家仔细研究过。它包括诸如 x或sinx此类的“正经函数”，但不含我们将不可逆性引入到统计描述之中所需的奇异广义函数。物理学中每一个新理论都需要新的数学工具。这里，对于不稳定动力学系统来说，基本的创新之处是，我们必须走出希尔伯特空间。
在阐述了这些预备知识之后，我们再回到伯努利映射。在这种情况下，我们很容易推导出演化算符U的显式，从而得到ρn＋1（x）＝Uρn（x）=1/2＇ρn（x/2）＋ρn（（x＋1）/2）。这个方程意味着在（n＋1）次迭代之后，点x处的概率ρn＋1（x）由点x/2和（x＋1）/2处的ρ n（X）值所确定。作为U形式的结果，若ρn是常数且等于α，则ρn＋l也等于α，因为Uα＝α。一致分布ρ＝α，对应于平衡态。它是通过推移迭代，对于n→∞时得到的分布函数。
相反，若ρn（x）＝x，我们求得ρn＋1（x）=1/4＋x/2。换句话说，Ux＝1/4＋x/2。算符U的作用是将函数x变换成另一个函数1/2＋x/2。但是，我们不难求如上所定义的本征函数，即由算符乘以常量而复制一个相同的函数。在例子U（x…1/2）＝1/2（x…1/2）中，本征函数是x…1/2，本征值1/2。若我们重复伯努利映射n次．则得到Un（x－1/2）=（1/2）n（x…1/2），当n→∞时．它趋于0。因此，（x…1/2）对 ρ（x）的贡献以与李雅普诺夫指数相关的速率被很快衰减。函数x－1/2属于一簇叫伯努利多项式的多项式，记为bn（x），它们是具有本征值为伯努利多项式的叠加形式时，高次多项式首先消失，因为它们的衰减因子较大。这就是分布函数很快趋于常量的原因。最后，只有B0（x）＝1幸存。
现在，我们必需用伯努利多项式来表达分布函数ρ和佩龙…弗罗贝尼乌斯算符U。然而在我们描述结果之前，我们应当再次强调“正经函数”与“奇异函数”（又称广义函数或者广义分布，不要把它和概率分布相混淆）之间的区别，因为这至关重要。最简单的奇异函数为 δ函数δ（x）。我们在第一章第III节中看到，δ（x－x0）对于x≠x0。的所有值均为零，对于x＝x0则为无穷大。我们已经注意到，奇异函数必须与正经函数一道使用。例如，若f（x）是一个正经连续函数，则积分∫dx f（x）δ（x－ x0）＝f（x0）有明确定义的含义。反之，包含奇异函数之积的积分，诸如∫dx δ（x－x0）δ（x－x0 ）＝δ（0）＝∞发散，故无意义。
我们的基本数学难题是，用本征函数和本征值来定义算符U，这称为算符U的谱表示。一旦我们有了这种谱表示，就可以用它表达Uρ，即佩龙…弗罗贝尼乌斯算符对概率分布ρ的作用。这里，我们得到了一个对于确定性混沌来说非常重要的情形。我们已经得到了一个本征函数集合，伯努利多项式（x），它是正经函数，但是仍存在另一个集合~Bn（X），它由与δ函数的导数相关的奇异函数构成。为得到U的谱表示和Uρ，我们需要这两个本征函数集合。结果，伯努利映射的统计表述只适用于正经概率函数ρ，而不适用于对应于由δ函数所表示的奇异分布函数的单一轨道。U的谱分解用于δ函数时包含发散且无意义的奇异函数之积。个体描述（用δ函数表示的轨道）与统计描述之间的等价性被打破了。然而，对于连续分布ρ，我们得到超出轨道理论的一致结果。我们能够计算趋于平衡的速率，从而得到一个在伯努利映射中发生的不可逆过程的明晰的动力学表述，这个结果证实了我们在第一章第III节中的定性讨论。概率分布考虑了相空间的复杂微结构。用轨道对确定性混沌进行描述对应于过分理想化，不能够表达这种趋向平衡。
这里，我们遇到了现代数学中的几个最紧要问题。事实上，我们将在第五章和第六章看到，确定本征函数和本征值是统计力学和量子力学的核心问题。对混沌也一样，这里的目的是用算符（例如U）的本征函数和本征值来表达算符。我们成功地做到了的时候，就得到了算符的谱表示。在量子力学中，此种谱表示在通过正经函数的简单情形里已经取得，所以我们使用希尔伯特空间。量子力学与希尔伯特空间中的算符分析之间的联系是如此紧密，以至于量子力学往往就被当作希尔伯特空间中的算符分析。在第六章，我们将看到这通常不是那么回事。