此紧密，以至于量子力学往往就被当作希尔伯特空间中的算符分析。在第六章，我们将看到这通常不是那么回事。
为了把握现实世界，我们最终必须离开希尔伯特空间。在混沌映射情形里，我们必须走出希尔伯特空间，因为我们既需要是正经函数的Bn（x）又需要是奇异函数的~Bn（x），于是，我们可以谈论受控的希尔伯特空间或盖尔范德空间。用更专门的术语来讲，我们得到了佩龙…弗罗贝尼乌斯算符的不可约谱表示，因为它仅适用于正经概率分布而不适用于个体轨道。这些特征是根本性的，由于它们是不稳定动力学系统的典型。我们将在第五章我们对经典动力学的推广和第六章量子力学中再次见到它们。我们不得不离开希尔伯特空间，其物理原因与上文提及的持续相互作用有关，这种相互作用需要整体的非局域描述。只有在希尔伯特空间之外，个体描述与统计描述之间的等价性才被无可挽回地打破，不可逆性才结合到自然法则之中。
III
伯努利映射不是一个可逆系统。我们前面提到，在运动方程的层次上已经存在时间之矢。我们的主要问题是描述在可逆动力学系统中出现的不可逆性，所以现在我们考察面包师映射或面包师变换，它是伯努利映射的推广。我们取一个边长为1的正方形。首先，将此正方形技成长为2的矩形，然后再把该矩形平分，建成一个新的正方形。考虑正方形的下部，我们看到，这一过程（或映射）经过一次迭代之后，下部分成了两条（见图4．1）。而且，此种变换是可逆的：逆变换首先将正方形重新变形成长为2、宽为2的矩形点后使每一点都回到其初始位置。
就伯努利映射而论，运动方程非常简单：在每一步，当O≤x