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而这决不是悖论的终结！布拉姆斯与菲什伯恩在一篇有趣的文章中③提醒人们注意黑尔选举制中两种扰乱人心的特点：不到场的悖论和挫折的大多数的悖论。在不到场的悖论中，对于排列在最后的一些候选人，增加的选票可以使该候选人成为一位当选者，而不是落选者。换句话说，一些把某候选人排列在最后的选民留在家里可能要比把该候选人填写在他们选票的最后好一些；在挫折的多数的悖论中，即使一些候选人可以在面对面角逐中击败其他每一位候选人，但却不能当选。（我极力主张那些渴望成为对策论专家的人们，去构思一些数字的例子，以便一一证明这些悖论；如果你未能成功，你可以随时请教布拉姆斯和菲什伯恩的可读性文章。）
挫折的多数的悖论不仅仅折磨着稀奇古怪的黑尔选举制，而且还折磨着许多普通的选举制，诸如简单多数选举制等。设想“自由派”先生（49％的优势），“温和派”先生（10％的优势）和“保守派”先生（41％的优势）之间进行三方竞选。现在考虑三派中每一位选民的第二选择。自由派选民当然喜欢“温和派”先生胜过“保守派”先生，因而在这些候选人之间的两方竞选中，“温和派”先生将当选。他获得选票的59％（对“保守派”先生的41％）；而保守派的选民们必定喜欢“温和派”先生胜过“自由派”先生。所以在这些候选人之间的两方角逐中，“温和派”先生可得51％的选票（对“自由派”先生的49％），也将当选。然而，在三方竟选中，“温和派”先生将落在最后。在一些预选中，如果没有候选人获得半数以上的多数票，那么要在两位得票最多的候选人中间进行最后的角逐。即使“温和派”先生在两方竞选中能够击败任何一个对手，但他也可能被阻止进入最后的角逐。
悖论还会更加深刻。假设在政治领域内，“自由派”先生是属于中间偏左的，而“保守派”先生只是中间略微偏右。那么，在“自由派”先生和“保守派”先生中间进行最后竞选时，所有温和派选票都会投向“保守派”先生，使他因获得51％的选票而当选。现在由于在选举意愿上有这样巧妙的联合，于是“保守派”先生要靠两票方可当选。“自由派”先生只靠一票就能当选，而“温和派”先生却具有在面对面竞争时击败任何一位对手的能力。所以说在你选择你的选举制时，也就选择了你的当选者。
布拉姆斯鼓吹一种选举制——认可选举制。它既可完全消除这里讨论的悖论，减低它发生的可能性，也可减少它的影响。这种认可选举以“一人多票”的原则取代由来已久的“一人一票”的原则。换句话说，虽然每位选民对每位候选人只能投一票，但是每位选民只要他喜欢就可以认可许多位候选人（即都投他们的票）。其概念就是，选民不必担心他的选票白白浪费在不受欢迎的候选人身上（比如说，在1980年的总统选举中的约翰。安德森），因为选民还可以再投另外他认可的候选人，不论他是谁。
在认可选举中，当选者将不是在简单多数选举中由于其对手分散了选票而获得胜利的候选人。认可选举制不太可能使多数派的希望受挫。而且当多数派还没有明确的选举意愿时（换句话说，当存在群体非可递性时，即当群体喜欢麦克唐纳胜过伯格王，喜欢伯格王胜过温迪，而喜欢温迪又胜过麦克唐纳时），认可选举制将就大多数人所赞同的意愿进行选择。我们可以看出，当罗纳德、克拉拉、赫布依靠2票来选择餐馆进餐时，那是多么有利于不诚实的投票，即为你的第二选择而不是你的第一选择投票。当有3位候选人时，认可选举制就可防止这种不诚实的投票：决不会出现有利于你投第二选择的票而不投第一选择的票这样的情况。此外，在认可选举制中，决不会出现留在家里并不去投票反而得利的情况，如同你在黑尔选举制中所做的那样，而且也不会在选区合并或分开时发生滑稽可笑的事情。
尽管认可选举制具有这些明显的优点，但显然没有被世界上任何公共论坛（除了少数专业学会外）所采用，只有在联合国安全理事会选举秘书长职位时采用过，其会员国可以投一人以上候选人的票。美国的纽约州和佛蒙特州都曾考虑采用认可选举制，但制定的议案已在州立法中被否决。对策论学家在影响公众政策方面所起的作用还是微不足道的，即使是在他提出一个建议，而该建议对社会的益处在数学上似乎是无懈可击的时候。
回答提出的问题此处布拉姆斯提出的事例，可能有利于缩短你在黑尔选举制中的投票时间。现有11张选票和4位候选人竞选1席公职。
组别选票数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 7 格拉夫博士 马尼福尔德博士 迪济特博士 波因特博士B 6 马尼福尔德博士 格拉夫博士 迪济特博士 波因特博士C 5 迪济特博士 马尼福尔德博士 格拉夫博士 波因特博士D 3 波因特博士 迪济特博士 马尼福尔德博士 格拉夫博士由于没有一位候选人获得11票，最低得票者波因特博士落选了，而他的支持者的3票都被转移给C组：组别 选票数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 7 格拉夫博士 马尼福尔德博士 迪济特博士B 6 马尼福尔德博士 格拉夫博士 迪济特博士C、D 8 迪济特博士 马尼福尔德博士 格拉夫博士仍然没有一位候选人获得简单多数票，于是又有一位不受欢迎的候选人马尼福尔德博士被淘汰了。当他支持者的6票和A组的7票联合在一起时，格拉夫博士入选了，他获得13票。
D组的3位选民不高兴，因为他们的最后选择竟是当选者。假设他们在选票上只标出第一选择的话，那么：组别 选票数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 7 格拉夫博士 马尼福尔德博士 迪济特博士 波因特博士B 6 马尼福尔德博士 格拉夫博士 迪济特博士 波因特博士C 5 迪济特博士 马尼福尔德博士 格拉夫博士 波因特博士D 3 波因特博士同前面一样，最初没有一位候选人获得11票，于是波因特博士被淘汰了。然而这次他的3票没有被转移，因为他的支持者没有表明任何其他选择意愿。剩下3位候选人，迪济特博士现在成为最不受欢迎的候选人。当他的5票加入B组时，马尼福尔德博士就崭露头角成为当选者——一个更合D组选民胃口的结果。
________① 见多隆和克罗尼克著《单一的可转移选票：反常的社会选择功能的一个实例》，美国政治科学杂志4期（1977年5月）：303—311页。
② 《黑尔选举制是矛盾的》政治研究杂志第27期（1979年6月）：283—286页。
③ 见菲什伯恩和布拉姆斯的《选举投票的悖论》，数学杂志第56期（1983年9月）：207—214页。
第十三章 国会议员的数学游戏1882年，得克萨斯州议员诺加。米尔斯对数学进行了谴责，他的发言是人类最诚恳的演说之一。他说：“我认为数学是一门神圣的科学，它是启迪神灵的惟一科学，所说的都是正确的。我所受到的教育一直是：数学展示了真理，也知道在天文学、哲学、几何学和所有其他学科中，总有些问题需要推测，而数学如同《启示录》的声音一样，它开口时总是说：”上帝是这样说的。‘但是，这里有个新的数学体系表明，真理就是谬误。“
米尔斯所说的问题是共和国成立以来众议院一直面临的问题：每个州应该分配多少个代表？国会代表按比例分配的数学听起来像是采用简单的、人们拥护的一人一票的方法。但是，像直接选举方案一样，间接代表制却受着数学上悖论的严重困扰，从而遭到米尔斯议员的强烈抨击。直接选举方案的悖论是策略运筹学性质的，它牵涉到选举人合谋选举他们自己的候选人。国会代表分配的问题，只是每个州分配到的代表人数，而不是怎样选代表的问题。按比例分配属于应用数学领域，叫做社会选择理论。
为什么按比例分配是这样一个问题呢？美国宪法第一条第二款似乎提供了一个直接的答案：每个州派往众议院的代表人数应与本州人口成比例。问题是，虽然一个国会议员的忠心可分，而他的躯体却不可分；人就像便士或电荷或亚原子自旋状况一样，是量子化的。
假定你要在只有两个州的国家成立一个众议院：X州有人口11， Y州有人口23。每个州按其人口选派代表，最小的众议院会是怎样的呢？最小的众议院会有34个成员，如果成员少一些，则其中一个州（或两个州）会出现一个分数代表。换句话说，当H（众议院的人数）少于34人，X和Y就没有整数（分别为X州和Y州的代表人数）能符合等式X＋Y＝H和X／Y＝11／23。为人口34而成立的一个34个成员的众议院，当然不是确切的间接代表制。
像我们有50个州这样大的国家，这些州的人口数量相互之间又没整倍数，问题就明显地复杂了。在一个特定规模的众议院，每个州的理想代表人数是按该州人口与总人口的比率乘众议院总成员数得出的。（因此，如果众议院有235个席位，在一个人口为231，575，493的国家里，人口为2，559，253的州有资格成为代表的理想数字为2。597099个：2，559，253／231，575，493×235。）既然这个理想数字可能是个分数，并且不允许代表出现四分之一这种数，那就需要有个更好的分配代表的方法了。
许多开国元勋，包括亚力山大。汉密尔顿、托马斯。杰佛逊和丹尼尔。韦伯斯特，曾提出他们各自的解决方法。财政部长汉密尔顿的方法最容易理解，他的方法于1792年经国会通过但紧接着被乔治。华盛顿否决——华盛顿在任8年中只行使过两次否决权，这是其中的第一次。按照汉密尔顿的方法，开始时先给每个州一个代表数，与其理想的代表的整数部分相等，舍弃其分数部分。换言之，如果佛蒙特州理想的代表人数为3。62，它就有3个代表。在这个基础分配的代表人数上计算出代表总数，如果总数没有达到众议院要求的人数，就取那些舍弃了的最大分数值的州的代表，进众议院。
汉密尔顿的按比例分配方法很容易说明。下表显示5个州的人口和在一个有26个席位的众议院中，每个州所能获得的代表人数。
用汉密尔顿的方法，在一个26席位的众议院，A、B、C、D和E开始时分别获得以下代表数：9、7、5、3和1，但只占26个席位中的25个席位，D州有最高分数（0。319），因而它可增加一个代表，共4个代表。
汉密尔顿的方法至少符合一个平等的原则：它给每一个州能够就近上下浮动的理想的代表数。换句话说，如果D州的理想代表数为3。319，他的方法总会给D州3个或4个代表，永远不会给2或5个代表。符合这个自然准则的方法据说能满足定额。许多别的方法不能满足定额，这定额似乎是你所希望的一种被认为是公平的按比例分配方法的最低的定额。
可是，汉密尔顿的方法违背另一个更难