于效用函数的状态和每个人为社会提供的最大的预期财富，而决不会取决于相对不同鲁宾逊能够得到的预期的差别。为证明这一命题，假定有两组人，每组的成员都有同样的期望，第一组的最大预期财富W（i）与第二组的最大预期财富W（2）不同。根据前面的分析，各组成员将分别集聚其财富，每个成员将收到一张彩票，获得一次机会，相对W1是（W2－w＇i＇）／（W2－W1），相对W2是（W＇i＇－W1）／（W2－W1）。假定第一组含有总人数的～部分N＇1＇，第二组含有总人数中的一部分n＇2＇。，所以，n＇1＇W＇1＇＋n＇2＇W＇2＇＝W，在总体上这是为社会提供的最大的预期财富，最终结果是这样一个分数，它等于：
（3） n＇1＇（W2－W［1］）/（W2－W1）＋n＇2＇（W2－W［2］）/（W2－W1）=（W2－W）/（W2－W1）
这一部分将实现财富W1，其他的实现财富W2。但如果所有的人都有同样的具有最高预期财富W的期望，那么这是人们将要实现的精确的结果。在更一般的情况下，最终结果是，每个个人采取最高预期财富的行为过程，并将结果贡献给公共积累，作为回报，他可收到获得财富W1的保证，和赢得与W2－W1等值的一份奖金的机会。对每个个人来说，这机会的规模与（W＇i＇－W）／（W2－W1）相等，这里的W＇i＇是他贡献的预期财富。这样虽然以财富W2结束的机会随个人期望优劣变化，但是仿佛所有的人都有同样的期望，已实现财富的最终分配将完全一样。
放弃已实现财富（再分配以前）在统计上独立的假定对两种结果都没有大的影响，尽管这种影响复杂。考虑一种极端的情况，在这种情况下，对某个人的成果的了解暗含对所有人全部的成果了解。首先，假定对所有人可能的W值和某组A中的值——a在W1和W2之间，忽略所采取的生产过程，那么事后将有单一的实际已实现的价值，前面的分析表明个人将集中他们的W’s且彩票进行总量的再分配。因此，这一实现财富的分配将由两组个人组成，一组成员中的每人收到W1，而另一组中的每人收到W2。只是所有始终属于每一组的人的部分才依靠那种实际成果。在前面，伴随着适当的关于再分配的协议，预期效用随预期财富的增加而增加。这样，所有人采用能获得最高预期财富的行为过程再次成为最好的选择。这里也再次说明，个人所能得的期望方面的差异并不影响最终结果，而只影响每个人获得彩票的数量。如果对于一组A的所有可能的W值不在W1和W2之间，那么具有最高预期财富的那个a就不再是最适当的。但这还是非常正确的：事先的协议将是这样的，以至如果实际上实现的W（在再分配之前）在W1和W2之间，这个W将被再分配，以便产出W1和W2值。因此，在所有的情况下，最终已实现财富的分配在W1和W2之间是不存在的。
所有人偏好（即效用函数）相同的假定在不影响我们的一般结论的情况下也可以放弃——只要再分配是无成本的——这一结论是：财富的不平等主要取决于社会中成员的偏好，从总体看其次才是依赖社会成员能得到的期望。然而，放弃这一假定的确会改变更具体的结论，即已实现财富分配一般是双值的结论。假定每一个个人分别有相同的一般状态的效用函数，如同图15．1中所承，但假定W1和W2（效用函数的双重切线切点的横坐标）随一个人到另一个人（这只是与现讨论的不相关的两个参数）而变化，并以W1＇i＇W2＇i＇为每个人标出函数的值，对每个独立的个人来说，最适合的再分配协议基本与前面分析相同：财富W1＇i＇的机会为（W2＇i＇－W＇i＇）／（Wa＇i＇－W1＇i＇），财富W2＇i＇的机会为（W＇i＇－W1）／（W2－W1），这里W＇i＇是对个人所能采取的任一生产过程所能获得的最大的预期财富，任何力量都不能阻止这一协议被采用：每个个人采取能提供最大预期财富的行为过程，将其最终产品贡献给公共积累，作为回报收到一张为他提供上述机会的彩票以获得财富W1＇i＇或W2＇i＇。由于每张彩票的竞争机会是“公平的”，因此所有的彩票也是这样；只要Pa＇i＇（W）正常地运转，且W2＇i＇有限，大多数定律就还适用。因此，随着个人数量大到足够程度，在总体上看，彩票的不可靠性微不足道。在这种情况下，已实现财富的分配取决于W1＇i＇和W2＇i＇，也取决于最大预期财富。偏好差别产生的效果将给财富分配带来附加的离散因素，这里的财富分配本来是以相同偏好为前提实现的。这种离散的总量取决于偏好的偏离程度，如同我们在下节将看到的，再分配成本有与偏好很相似的影响作用。
社会中的个人：再分配包含成本
充分意义的再分配协议的成本（特别是通过对“刺激”的作用），排除了一些协议，否则这些协议将是人们渴望得到的，随之而来的结果是“自然”（即原始）的一组期望Pa（w）提供的种种机会影响着财富分配的形状，而不只是财富的平均价值。这种效果将产生某种混合体，这种混合体处于两种结论之间，即第一节对独立个人分析结果和第二节对处于再分配无成本社会中个人的分析结果之间。
或许联系这两种情况（如同我们将要看见的，其中之一能进行财富或收入的分配，如同实际观察到的，这些财富或收入至少可以赡养一个家庭的最简单的形式）是假定每个个人可能的行为可以划分为两组独立且非竞争情况，设其中之一为As，其结果不易受再分配的影响，设另一个为Ar，其结果可以进行无成本的再分配。然后，个人从一组中选择一个生产过程。在再分配之前，个人的已实现财富由两部分构成，Ws和Wr，在Ws和Wr再分配之后，他的最终财富是Ws＋Wr’，现在，每个个人关心的是Ws＋W’r可能的分配形式而不是分别考虑其中之一。
如果效用函数具有图15．1中的U（W）的形状，最适当的再分配协议是什么？同时为了简化分析对所有的个人来说相同的是什么？现在，要想获得最适当的分配形式——即获得具有最高预期价值和适当的可能性的既有W1又有W2的双值期望是不再可能了。因为，无论采用何种再分配协议，虽然，Wr可以取决预期的Pas（Ws），但如果我们假定W’r不取决于已实现的Ws，将无法实现平均或避免与Ws相联系的风险。显然来自Ar的最佳选择还是具有最高预期财富的行为过程，因为人们要求的任何Wr的再分配是有可能得到的，在使总分配量尽可能大的过程中不会失去任何东西。除此之外，既调整对As组的选择，又调整再分配协议是最佳选择，以便尽可能接近最适当的分配方案。
为了更确切的表述关于最适当的分配协议问题，进行比前面我们做的更精确的分类几乎是必须的，这就是对一组Pas（Ws）特性的分类，或许还有对效用函数U（W）特性的分类：能够证实几乎任一种再分配协议的Pas（Ws）的存在是可能的。我还没有试图对这一问题进行详尽的分析，但我推断，对于一个多层次的函数Pas（Ws）和多层次的效用函数U（W），最适当的再分配协议与第二节讨论的是相同的，且即使个人与个人间的期望存在差异也是这样。为了进一步分析，我将试图接受这一推断，并假定Pas（Ws）和效用函数U（W）具有它所要求的使它更有根据的性质。
每个个人可以将这种再分配协议说成是对总量的贡献，即对每一组彩票中某份额的购买，作为回报他得到获取一份确定数额的特定机会，也就是某种奖励的机会。每个个人付出的总量取决于他的已实现的Wr和他从As中选择的期望，而不取决于已实现的Ws，因为这将与Ws不易对再分配产生影响的假定相矛盾。如果所有的个人有同样的期望组，所有的人将选择同样的期望，只是由于已实现的Wr的不同，个人付出的量才出现差别。然而，如果个人有不同组的期望，个人付出的总量既取决于从As组中选择的特殊期望，也取决于已实现的Wr，因为，如果他不赢得一笔奖金，其支付的目的就是将每个个人置于W1的附近。因此，与期望得到相对小Ws的人相比，那些有得到相对高Ws值期望的人将保持比W2较小的量（或除这一量外付的多一些）。这些在付出方面的差别将由获得奖金机会的差异来补偿（即彩票的数票），前者比后者有更多的机会。奖金的数量对所有人是相同的，与W2…W1相等，因为其目的在于将获奖者置于W2附近。
随这种再分配协议而来的已实现财富的最终分配，是两种财富分配的不确定量。采取As组的行为过程带来某种已实现财富Ws的分配，它的确切形式取决于特殊的最适当的选择；取决于由不同个人实现的Ws相互间的依赖程度和个人可能实现期望的差别。现在，为彩票的付出修正了这种分配，其效果是将分配的重心转向W，就对个人可获得的期望的不同范围来说，这是减少其变动性，因为不同个人造成的支付上的差别被设计用于补偿可得到预期的这种差别。假定现在彩票已抽出，赢输已定。这一结果使财富分配分为两种类型的分配，一种相对获利者，一种相对亏损者，一般情况下，这两种分配不必一样，因为通常有较好期望的个人有更多机会取胜，同时还因为不考虑平均值或分配参数确定的补偿彩票费用的价值，这些通常由较好期望产生的财富分配与来自其他期望的财富分配存在着系统差别，由奖金支付的W2－W1对于赢者的分配现在转发给每个赢者，最终分配是对损失者和赢得者总量的分配。
为说明这一点，假定D（W）是对彩票支付后但在奖金分配前的已实现积累财富的分配；即：D（W）是这一阶段拥有财富比W少的个人的分配部分。假定在这一阶段的分配独立于同意支付以参与抽彩之外，这样，这种分配对赢者和输者就一样了。假定g是赢得奖金的那部分人，W’＝W2－W1是奖金，那么最终财富分配将是
（4） F（W）＝（1－g）D（W）＋gD（W－W’）。
或许下列情况值得明确提示：即这种分配是总量的两种分配，而不是两种随机变量的总量的分配。
如同在上节中提到的，放弃相同偏好的假设基本不会改变这些结果。如果在偏好上有些一般的相似点，个人W1和W2的值将形成大量独特的分配，这种W1和W2中的分散现象主要与Ws值的分散现象叠加，它对最终分配与后者最初较大的离散现象有同样的广泛影响。
两种组合的分配在等式（4）或其推导变形中的相对重要性，依赖于抽彩中的赢得者部分，而它又转而依赖于它实现平均财富W 规模，W是与W1和W2有关。下面这一点似乎是有根据的：效用曲线的形状和位置依社会平均财富和财富的分配决定，就此而言，我们已经将效用曲线看作简单给定，看作独立于个人所能得到的期望或已实现的财富分配，但是，从比我们目的所需的更广的视角来看显然应将效用曲线和期望看作交互作用的过程。为了适应这些已观察到的事实——由这些事实图15．1中的效用曲线的特殊形状将被推断——我们社会平均财富更接近于W1，而不是接近于W2。这就暗示我们，赢得者部分g趋于零。如果g趋于零，由区别或区分积累