亚里士多德用与直接的或显示的证明相对比的办法，来描述间接的证明或“归谬法”的论证。
间接证明假定它希望否决的东西，即用还原法去否决被认为假的命题，而显示法证明从承认为真的命题开始。
①因为如果我们要用归谬法证明一个命题，我们必须从它的否定出发并从而导出一个显然虚假的命题。
Ｂａｒｏｃｏ式的间接证明应从该式的否定出发，而不是由它的结论的否定出发，并且这个否定应导致一个无条件的虚假的命题，而不是一个仅在某些条件下才是假的命题。
我将在此处提出一个这样的证明的简述。
令α指示命题“Ｍ属于所有的Ｎ”
，β指示“Ｎ属于所有Ｘ”
，以及γ指示“Ｍ属于所有Ｘ”。
因为一个Ａ前提的否定是一个Ｏ前提，“非
①《前分析篇》ｉ。
１４，６２ｂ２９，“归谬法的论证，不同于显示法的证明在于它设置它希望反驳的命题，即用还原为公认为虚假的命题的办法来反驳设置的命题；而显示法证明则从它所承认（为真）的论点出发。”
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４８第三章 亚里士多德三段论系统
β“
①是“Ｎ不属于有些Ｘ”的意思，而“非γ”是“Ｍ不属于有些Ｘ”的意思。
根据Ｂａｒｏｃｏ式，蕴涵式“如果α并且非γ，则非β”
是真的，或者，换言之，α并且非γ与β不同真。
因此，这个命题的否定意味着“α并且β并且非γ”同真。
但从“α并且β”用Ｂａｒｂａｒａ式得出“γ”
；因此，我们得到了“γ并且非γ”
，亦即一个由于有着形式的矛盾而显然虚假的命题。
这个用归谬法对Ｂａｒｏｃｏ式的真正的证明，完全不同于亚里士多德所提出的证明，这是易于看出的。
Ｂａｒｏｃｏ式能以一个极简易的显示证明从Ｂａｒｂａｒａ式得到证明，它需要一个、也仅仅只需要一个命题逻辑的断定命题，那就是以下的复杂的易位律：（４）如果（如果ｐ并且ｑ，则ｒ）
，那么（如果ｐ并且非ｒ，则非ｑ）。
②令“Ｍ属于所有Ｎ”代ｐ，“Ｎ属于所有Ｘ”代ｑ，以及“Ｍ属于所有Ｘ”代ｒ。
通过此替代，从（４）的前件得到Ｂａｒｂａｒａ式，并因而可分离出后件，它读作：（５）如果Ｍ属于所有Ｎ并且Ｍ属于所有Ｘ是不真的，那么Ｎ属于所有Ｘ是不真的。
因为Ｏ前提是Ａ前提的否定，我们可以在（５）中以“不属于有些”替代“属于所有是不真的”
，从而得到Ｂａｒｏｃｏ式。
毫无疑问，亚里士多德是知道在上述证明中所涉及的易位律的。
这个定律与亚里士多德透彻地研究过的所谓三段论
①我用“非”作为命题的否定“这是不真实的……”的缩写。
②见《数学原理》第１８页，断定命题P３。
３７。
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１８。归谬法证明A ５８
的“转换”
①（ｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ）
密切相联。
转换一个三段论，就是：把结论的反对命题或矛盾命题（在归谬法证明中仅采取矛盾命题）
与前提之一一起采取，从而推翻另一个前提。
亚里士多德说：“这是必然的：如果结论已被转换并且前提之一成立，则另一个前提应被推翻。
因为如果它应当成立，则结论也必定成立了。“
②这是对复杂的易位律的一个描述。
所以亚里士多德知道这个定律；而且，他应用它从Ｂａｒｂａｒａ式得出Ｂａｒｏｃｏ式和Ｂｏｃａｒｄｏ式。
在同一章中研究第一格各式的转换的时候，他说：“令三段论是肯定的（即Ｂａｒｂａｒａ式）
，又令它如已说过的那样转换（即用矛盾的否定）。
那么，如果Ａ不属于所有Ｃ但属于所有Ｂ，Ｂ将不属于所有Ｃ。
而且，如果Ａ不属于所有Ｃ，但Ｂ属于所有Ｃ，Ａ将不属于所有Ｂ“。
③在这里提出了Ｂａｒｏｃｏ式与Ｂｏｃａｒｄｏ式证明的最简单的形式。
在三段论理论的系统解说中，这些正确的证明都被不充分的归谬论证所代替。
我想，理由在于亚里士多德并没有把通过假设的论证（ａｒｇｕｍｅｎｓ
∈‘ξπθ∈’δ∈ωｓ）
看作真正J证明的手段。
所有论证，对于他来说，都是使用直言三段论的证明；他力图表明归谬证明，就其至少包含的一部分是直言三段论而言，乃是一种真正的证明。
在分析正方形的一边与其
①《前分析篇》ｉ。
８—１０。
②同上，８，５９ｂ３，“因为这是必然的，如果结论已被改变成与它相反的东西并且前提之一成立，则另一个前提应被推翻。
因为如果它应当成立，则结论也必定成立了。“参见《论辩篇》ｖｉ。
１４，１６３４，“如果一个结论是不真的，那么必然导致诸前提中的某一个的取消，因为给出所有前提的话，那个结论就必定产生。”
③《前分析篇》ｉ。
８，５９ｂ２８。
…… 98
６８第三章 亚里士多德三段论系统
对角线不可公约的定理的证明时，他明白地说：我们由一个三段论可知：这个定理的矛盾将导致荒诞的后果，即奇数应等于偶数，但定理本身是由一个假设来证明的，因为当它被否定时，就得出虚假的命题。
①亚里士多德断定，所有其它假设论证都是这一类的；因为在每一场合，三段论都导致一个与原断定命题不同的命题，而原断定命题是由认可或由某些其它的假设所得到的。
②当然，所有这些都是不真实的；亚里士多德并不懂得假设论证的性质。
Ｂａｒｏｃｏ式与Ｂｏｃａｒｄｏ式是用易位定律来证明，不是由认可或由某些其它的假设而达到的，而是由一个清楚的逻辑定律来进行的；同时，它确实是在另外一个基础上对一个直言三段论的证明，但它不是由一个直言三段论来进行的。
在《前分析篇》第一卷之末，亚里士多德指出有许多假设论证应当加以考虑和描述，并许诺将在以后来作这项工作。
③这个诺言他并未在任何地方兑现。
①这个任务留给了斯多亚派。
他
①《前分析篇》ｉ。
２３，４１２３，“凡是进行归谬论证的人们，用三段论的方法推出虚假的命题，并且，就假设地证明了原来的结论了，当从它的矛盾的假定而得出某些不可能的东西的时候；例如，正方形的对角线是不能与其一边通约的，因为如果假定可以通约则奇数将会等于偶数。
一个人用三段论推出奇数将会等于偶数，他就通过假设证明了对角线不能通约，因为通过它的矛盾就会得到一个虚假的命题。“
②《前分析篇》ｉ。
２３，４１ａ３７，“所有其它的假设三段论都是一样；因为在每一场合，三段论都导致一个由代换原断定命题而得的命题，而原断定命题是由认可或某些其它假设所得到的。”
③同上４，５０ａ３９，“许多其它论证也是借助于一个假设而导致结论的；这些我们也应当考虑并弄清楚，我们将在以后来描述这些假设的论证的差别和形成的各种方式。”
〔Ｗ。
Ｄ。
罗斯主编的《亚里士多德全集》英译本（１９２８年牛津版）
在此处加上了一个脚注：“这个诺言在亚里士多德的现存著作中未曾兑现。”
——译者注〕
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１８。归谬法证明A ７８
们把这个假设论证的理论包括在他们的命题逻辑系统之内，在那里，复杂易位律找到了自己合适的地位。
在埃奈西德谟斯的一个论证的场合（它与我们的目的无关）
，斯多亚派学者分析了以下的推论规则，它相当于复杂的易位律：“如果第一并且第二，则第三；但非第三并且第一；所以非第二”。
②这个规则化归为斯多亚派逻辑的第二个和第三个不可证明的三段论。
我们已经知道了第一个不可证明的三段论，那就是肯定前件的假言推理；第二个是否定后件的假言推理（ｍｏｄｕｓ
ｔｏｌCｌｅｎｓ）
：“如果第一，则第二；但非第二；所以，非第一”。
第三个不可证明的三段论从否定的合取式开始而读作：“非（第一并且第二）
；但第一；所以，非第二。“根据塞克斯都恩披里W可，这个分析是这样进行的：用第二个不可证明的三段论，从蕴涵式”如果第一并且第二，则第三“
，以及它的后件的否定“非第三”
，我们得到它的前件的否定“非（第一并且第二）”。
从这个命题（它是实际包含在前提中，但未用文字明显地表示出来）与前提“第一”结合在一起，用第三个不可证明的三段论得出结论“非第二”。
③这是我们归之于斯多亚派学者
① 亚历山大３８９。
３２，他在注释这一段的时候说：“他说有许多其它的结论也是借助于一个假设而导致结论的。
因为打算在以后更加详尽地来分析这些论证，所以他把它们搁下了。
但是，他并未留下任何与此有关的著作。“
② 斯多亚派学者用序数词指示命题变项。
③ 塞克斯都恩披里可（穆契曼编）
《反数学家》，ｖｉ。
２３５—２３６：“这个规W则〔即指埃奈西德谟斯（怀疑论者，约与西塞罗同时——译者注）作为问题提出的〕化归为借助于第二个和第三个不可证明的式的论证，正如可以从对我们具有更大明晰性的分析中学会的一样，如果我们把关于式（ρDπ）的理论表述如下：E J F
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８８第三章 亚里士多德三段论系统
的最干净利落的论证之一。
可见有才能的逻辑学家在两千多年前以我们今天所作的同样方式进行了推理。
１９。显示法证明A用换位法和用归谬法证明，对于将不完全的三段论化为完全的三段论说来是足够了。
但亚里士多德还作出了第三种证明，即所谓用显示法证明（‘Dθ∈σι）。
虽然对亚里士多德系M G统来说，它是无关紧要的，但它们本身是有兴趣的，并且值得仔细研究。
在《前分析篇》中仅有三处地方亚里士多德对这个证明作了一个简短的刻画。
第一处是与证明Ｅ前提的换位相联系的，第二处是Ｄａｒａｐｔｉ式的证明，第三处是Ｂｏｃａｒｄｏ式的证明。
‘θDσθαι一字仅仅出现在第二处，但无疑另两段也是指的用M G M显示法证明。
①
‘如果第一并且第二，则第三；令第三被否定，但第一�
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