亚里士多德的三段论- 第36节

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　　　　３８。基本模态逻辑A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３９１

　　　　P８。

　　　　ＮＬｐ，即：ｐ不是必然的——是被排斥的。

　　　　两个公式都可称为亚里士多德的公式，因为它们都是从亚里士多德所允许的假定中推出来的结果，这个假定就是：存在着被断定的必然命题。

　　　　因为如果Ｌａ被断定，那末，ＬＮａ也应该被断定，而从邓斯司各脱原则ＣｐＣＮｐｑ，我们用代入法W和分离法得出断定的公式ＣＮＬαｐ和ＣＮＬＮαｐ。

　　　　由于ｐ是被排斥的，那末，ＮＬα和ＮＬＮα也是被排斥的，而结果，ＮＬｐ和ＮＬＮｐ，即Ｍｐ，也应该是被排斥的。

　　　　当且仅当一个系统满足公式１—８的时候，我称之为“基本的模态逻辑”

　　　　系统。

　　　　我已经表明过，基本的模态逻辑可以在古典命题演算的基础上予以公理化。

　　　　①两个模态函子Ｍ和Ｌ中，一个作为基本词项，而另一个则可由它来下定义。

　　　　取Ｍ为基本词项和公式２作为Ｌ的定义，我们就能得出基本模态逻辑的下列一组独立的公理：４。

　　　　ＣｐＭｐP５。

　　　　ＣＭｐｐP７。

　　　　Ｍｐ

　　　　９。

　　　　ＱＭｐＭＮＮｐ，这里公式９根据定义２和命题演算是与公式１演绎地等值的。

　　　　取Ｌ为基本词项和公式１作为Ｍ的定义，我们得出相应的一组公理：３。

　　　　ＣＬｐP６。

　　　　ＣｐＬｐP８。

　　　　ＮＬｐ

　　　　１０。

　　　　ＱＬｐＬＮｐ，这里公式１０根据定义１和命题演算是演绎地等值于公式２的。

　　　　推出的公式９和１０作为公理是必不可少的。

　　　　基本的模态逻辑是任何模态逻辑系统的基础，并且总必须包含在这类逻辑的任一系统之中。

　　　　公式１—８与亚里士多德

　　　　①参阅我关于模态逻辑的论文第１４—１１７页。

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　　　　４９１第六章　亚里士多德的模态命题逻辑

　　　　的直觉相一致，并且成为我们关于必然性和可能性概念的基础。

　　　　但是它们并没有穷尽公认的全部模态定律。

　　　　例如，我们相信如果一个合取式是可能的，那末，它的每一个因子也必须是可能的，用符号表示就是：１。

　　　　ＣＭＫｐｑＭｐ和１２。

　　　　ＣＭＫｐｑＭｑ，而如果一个合取式是必然的，那末，它的每一个因子也必须是必然的，用符号表示就是：１３。

　　　　ＣＬＫｐｑＬｐ和１４。

　　　　ＣＬＫｐｑＬｑ。

　　　　这些公式的任何一个都不能从定律１—８推演出来。

　　　　基本模态逻辑是一个不完全的模态系统，因而需要补充若干新的公理。

　　　　让我们看看亚里士多德本人是怎样补充的。

　　　　３９。扩展定律A亚里士多德的最为重要，并且照我看来，最为成功的超出基本模态逻辑范围的尝试，在于他断定了某些可以称为“模态函子扩展定律”

　　　　的原则。

　　　　这些原则可以在《前分析篇》第１卷第１５章找到；它们在三个地方表述出来。

　　　　在这一章开始我们读到：“首先，我们必须说明：如果（如果α存在，则β必须存在）

　　　　，那末，（如果α是可能的，则β也必须是可能的）“。

　　　　①亚里士多德在几行之后又说（指他的三段论）

　　　　：“……如果用α标志前提，而用β标志结论，则不仅由此可以得出：如果α是必然的，则β是必然的，而且得出：如果

　　　　①《前分析篇》，ｉ。

　　　　１５，３４ａ５。

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　　　　３９。扩展定律A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５９１

　　　　α是可能的，则β是可能的。“

　　　　①

　　　　而在这一段结尾时他又重复说：“已经证明过，如果（如果α存在，则β存在）

　　　　，那末，（如果α是可能的，则β是可能的）。“

　　　　②

　　　　让我们首先从涉及三段论的第二段原文开始，来分析这些模态定律。

　　　　所有亚里士多德的三段论都是具有Ｃαβ形式的蕴涵式，这里α是两个前提的合取，而β是结论。

　　　　举Ｂａｒｂａｒａ式为例：１５。

　　　　ＣＫＡｂａＡｃｂ

　　　　Ａｃａ

　　　　α

　　　　β按照这第二段引文，我们得出两个具有蕴涵形式的模态定理，这个蕴涵式取Ｃαβ作为前件和取ＣＬαＬβ或ＣＭαＭβ作为后件，用符号表示就是：１６。

　　　　ＣαＣαβＬαＬβ和１７。

　　　　ＣαβＣＭαＭβ。

　　　　字母α和β在这里代表一个亚里士多德三段论的前提和结论。

　　　　由于最后一段引文没有涉及三段论，所以我们可以将这些定理看作一般原则的特殊情况，这个一般原则我们可以通过用命题变项去代替希腊字母得出：１８。

　　　　ＣｐｑＣＬｐＬｑ和１９。

　　　　ＣｐｑＣＭｐＭｑ。

　　　　两个公式都可以称为广义的“扩展定律”

　　　　，第一个是关于Ｌ的，第二个是关于Ｍ的。

　　　　这“广义”一词需要作些解释。

　　　　作为Ｓｅｎｓｕ

　　　　ｓｔｒｉｃｔｏ（严格意义）的一般扩展定律，乃是

　　　　①同上，３４ａ２。

　　　　②同上，３４ａ２９。

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　　　　６９１第六章　亚里士多德的模态命题逻辑

　　　　一个通过引入变项函子而扩充的古典命题演算的公式，它具有下述形式：２０。

　　　　ＣＱｐｑＣδｐδｑ。

　　　　简略地说，这表示：如果ｐ等值于ｑ，那末，如果δ属于ｐ，那末δ也属于ｑ，这里δ是任一具有一个命题主目的命题构成函子，例如Ｎ。

　　　　相应地，关于Ｌ和Ｍ的严格的扩展定律将具有下述形式：２１。

　　　　ＣＱｐｑＣＬｐＬｑ和２。

　　　　ＣＱｐｑＣＭｐＭｑ。

　　　　这两个公式比公式１８和１９具有更强的前件，并且依靠命题ＣＱｐｑＣｐｑ和假言三段论的原则可以容易地从公式１８和１９推演出来（从１８推出２１，从１９推出２）。

　　　　但是，也可以证明，在命题演算和基本模态逻辑的基础上，反过来，从公式２１推演出公式１８，从公式２推演出公式１９。

　　　　我在这里对Ｌ公式给以一个完整的推演：前提：２３。

　　　　ＣＱｐｑｒＣｐＣｐｑｒ２４。

　　　　ＣｐｑＣｑｒＣｐｒ２５。

　　　　ＣｐＣｑＣｐｒＣｑＣｐｒ３。

　　　　ＣＬｐ。

　　　　推演：

　　　　２３。

　　　　ｒＣＬｐＬｑ×Ｃ２１—２６＇２６。

　　　　ＣｐＣｐｑＣＬｐＬｑ

　　　　２４。

　　　　ｐＬｐ，ｑｐ，ｒＣＣｐｑＣＬｐＬｑ×Ｃ３—Ｃ２６—２７＇２７。

　　　　ＣＬｐＣｐｑＣＬｐＬｑ

　　　　２５。

　　　　ｐＬｐ，ｑＣｐｑ，ｒＬｑ×Ｃ２７—１８＇

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　　　　４０。亚里士多德对扩展的Ｍ－定律的证明A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７９１

　　　　１８。

　　　　ＣｐｑＣＬｐＬｑ依据前提ＣＣＱｐｑｒＣＮｑＣｐｑｒ，ＣＣｐｑＣｑｒＣｐｒ，ＣＣＮｐＣｑＣCｒｐＣｑＣｒｐ和模态断定命题ＣｐＭｐ的易位ＣＮＭ９Ｎｐ，同样可以从公式２推演出公式１９。

　　　　从上面所述，我们看到，给予了命题演算和基本模态逻辑，公式１８与严格的扩展定律２１是演绎地等值的，而公式１９与严格的扩展定律２是演绎地等值的。

　　　　因此，我们将这些公式称为“广义的扩展定律”是正确的。

　　　　自然，不管我们是通过补充ＣＣｐｑＣＬｐＬｑ或者是通过补充ＣＱｐｑＣＬｐＬｑ去完成基本模态逻辑的Ｌ系统，它们在逻辑上都是毫无区别的；另外将ＣｐｑＣＭｐＭｑ或者ＣＣｐｑＣＭｐＭｑ任选其一补充到Ｍ系统中去也是同样有效的。

　　　　但是就直观上说，其区别却很大。

　　　　公式１８和１９不象公式２１和２那样明显。

　　　　如果ｐ蕴涵ｑ，但是并不与它等值，那末，如果δ属于ｐ，则也属于ｑ，这却不是永真的；例如：ＣＮｐＮｑ就不能从Ｃｐｑ推演出来。

　　　　但是，如果ｐ与ｑ等值，那末总是，如果δ属于ｐ，则δ属于ｑ，即如果ｐ真，则ｑ也真，而如果ｐ假，则ｑ也假；同样，如果ｐ是必然的，则ｑ也是必然的，而如果ｐ是可能的则ｑ也是可能的。

　　　　这看来应该是十分明显的，除非模态函项看作内涵函项，即作为函项，它的真值不单纯依赖于它的主目的真值。

　　　　但是在这种情况下，必然性和可能性应该表示什么，这对我来说至今还是个秘密。

　　　　４０。亚里士多德对扩展的Ｍ－定律的证明A在上面的最后一段引文中，亚里士多德说他已证明了关于可能性的扩展定律。

　　　　他实际上是这样论证的：如果α是可能

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　　　　８９１第六章　亚里士多德的模态命题逻辑

　　　　的，而β是不可能的，那末当α出现时β却不出现，所以α可以在没有β的情况下出现，但这是与如果α存在则β也存在的前提相矛盾。

　　　　①很难将这个论证改造成一个逻辑公式，因为词项“出现”与其说具有逻辑意义，不如说更具有本体论的意义。

　　　　但是亚历山大给这个论证所作的注释却值得仔细研究。

　　　　亚里士多德将“偶然的”

　　　　定义为某种不是必然的东西，而对这种东西设想的存在也不包含任何不可能。

　　　　②亚历山大将亚里士多德关于偶然性的定义与省去了“不是必然的”一语的“可能性”

　　　　的定义等同起来。

　　　　他说：“一个作为不可能的β不能从一个作为可能的α推演出来，这一点也可以从可能性的定义加以证明，这个定义是：可能的东西是这样的，对它设想的存在不包含任何不可能。”

　　　　③这里“不可能”

　　　　和“不”

　　　　（ｎｏｔｈCｉｎｇ）两词要求慎重的解释。

　　　　我们不能将“不可能”解释为“不是可能的”

　　　　，因为这样定义就会产生循环。

　　　　我们应当或者采用“不可能”作为基本词项，或者采用“必然”作为基本词项，用“非ｐ是必然的”去定义表达式“ｐ是不可能的”。

　　　　我宁愿采取第二个方式，并且将在Ｌ基本模态逻辑的基础上来讨论这个新的定义。

　　　　“不”

　　　　一词应该用全称量词来表示，因为要不然定义就不是正确的。

　　　　因此，我们就得出等值式：

　　　　①《前分析篇》，ｉ。

　　　　１５，３４ａ８，“如果它是可能的，在它的存在成为可能的时候，就可以出现；而如果它是不可能的，在它的存在成为不可能的时候，就不会出现；而如果在同一时间α是可能的而β是不可能的，那末，α就可能在没有β的情况下出现，而如果它出现了，那末就存在着……。”

　　　　②参阅下面第１９０页。

　　　　③亚历山大，１７，１。

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　　　　４０。亚里士多德对扩展的Ｍ－定律的证明A